5단계: 벡터 해석 · 적분 정리 · 복소해석 · 해석학 기초

이론적 기초 — 여기까지 온 너에게 필요한 배경지식

4단계에서 너는 **경도(gradient)**를 배웠다. ∇f를 계산하면 함수 f가 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키는 벡터를 얻는다고 했다. 그리고 ∇·(벡터) 같은 기호도 슬쩍 봤을 것이다. 오늘 우리가 시작하는 지점은 바로 거기서부터다. 4단계에서 배운 이중적분·삼중적분·야코비안 변환은 이 단계에서 필수 도구로 쓰이니, 혹시 기억이 흐릿하다면 지금 잠깐 머릿속에서 "r dr dθ", "ρ² sin φ dρ dφ dθ" 같은 표현을 떠올려보길 바란다.

가장 먼저 짚어야 할 질문은 이것이다: "스칼라(숫자 하나)와 벡터(방향+크기)는 어떻게 다르게 적분되는가?" 1단계에서 배운 적분은 수직선 위, 즉 x축 위에서 왔다 갔다 하는 숫자를 쌓는 행위였다. 그런데 실제 세계에서 물리 현상은 공간 속 경로를 따라, 또는 구불구불한 곡면 위에서 일어난다. 전기장 속에서 전하가 구불구불한 경로를 따라 이동할 때 한 일, 자기장이 곡면을 뚫고 지나가는 선속(flux) — 이런 것들을 계산하려면 기존의 ∫ f(x) dx 만으로는 부족하다. 이것이 선적분과 면적분이 탄생하는 이유다.

또 한 가지 배경이 있다. 고등학교 복소수 시간에 i² = −1이라는 '마법 같은' 규칙을 배웠을 것이다. 그런데 복소수를 단순히 숫자로 보지 않고 함수의 세계로 끌어올리면, 미분과 적분이 실수 세계와는 전혀 다른 방식으로 작동한다. 복소해석학(Complex Analysis)은 그 이상한 나라의 이야기다. 그리고 가장 마지막에 살짝 열어볼 르베그 적분과 힐베르트 공간은, 리만 적분(2단계에서 배운 것)이 도달하지 못하는 함수들을 다루기 위해 20세기 수학자들이 닦아놓은 더 깊은 기초다.

[노트 기록] 이 단계의 핵심 연쇄 논리를 손으로 적어라: 벡터장 F 존재 → curl F = 0 확인 → 보존장 판정 → 퍼텐셜 함수 f 존재 → 선적분 경로 무관 → ∫ F·dr = f(B) - f(A). 이 체인을 몸에 새겨야 한다.

본 내용 A — 벡터장과 선적분

**벡터장(vector field)**이란 공간의 각 점에 벡터 하나씩을 배정한 것이다. 바람의 속도장, 중력장, 전기장이 모두 벡터장이다. 수식으로는 F(x, y, z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 처럼 쓴다. 여기서 P, Q, R은 각각 x, y, z 방향 성분을 나타내는 스칼라 함수다.

**선적분(line integral)**은 이 벡터장 속에서 곡선 C를 따라 이동할 때 벡터장이 하는 일을 측정한다. 직관적으로 생각해보자: 강물(벡터장 F)이 흐르는데 네가 배를 타고 구불구불한 경로 C를 따라간다면, 강물이 너를 돕는 정도는 경로의 각 미소 구간 dr과 강물 F의 내적(dot product)을 모두 더한 값이다. 수식으로:

$\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} (P d x + Q d y + R d z)$

이것을 계산하려면 곡선 C를 매개변수화한다. 즉, C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]로 놓으면, dr = r'(t)dt이므로:

$\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$

이렇게 하면 결국 1단계에서 배운 단변수 적분 문제로 환원된다. 매개변수화가 핵심 기술이다. 예를 들어 단위원을 따라 한 바퀴 돌 때는 x(t) = cos t, y(t) = sin t, t ∈ [0, 2π]로 놓으면 된다. 이것은 2단계에서 배운 치환적분과 같은 정신이다 — 복잡한 기하를 단순한 매개변수로 번역하는 것.

[노트 기록] 선적분 계산 절차: ① 곡선 C를 매개변수화 r(t), t: a→b ② F(r(t))와 r'(t) 계산 ③ 내적 F·r'(t) ④ ∫ₐᵇ (내적) dt 계산. 이 4단계를 손으로 한 번 써보라.

스칼라 함수의 선적분 ∫_C f ds도 있다. 여기서 ds = |r'(t)| dt는 호의 길이 원소다. 이것은 벡터장이 아닌 스칼라 함수를 곡선 위에서 쌓는 것으로, 곡선 위 철사의 질량을 계산할 때 쓴다(선밀도 × 길이 원소를 적분). 이 두 가지 선적분은 개념상 다르지만 계산 방법은 같은 구조다.

본 내용 B — 발산(Divergence)과 회전(Curl)

이제 벡터장 F에 적용하는 두 가지 핵심 연산자를 소개한다. 이것들은 4단계에서 잠깐 등장한 ∇(나블라) 연산자를 응용한 것이다. ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)라고 생각하면 된다.

**발산(divergence)**은 ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z로 정의된다. 스칼라 값이 나온다. 직관은 이렇다: 벡터장을 유체의 흐름이라고 할 때, 특정 점에서 유체가 "뿜어져 나오는" 정도를 측정한다. div F > 0이면 그 점이 소스(source, 원천), div F < 0이면 **싱크(sink, 흡수점)**다. 전기장에서 양전하는 소스(전기장이 밖으로 퍼져 나옴), 음전하는 싱크다. 이것이 나중에 가우스 법칙 ∇ · E = ρ/ε₀으로 연결된다.

**회전(curl)**은 ∇ × F로 정의된다. 벡터 값이 나온다. 계산은 다음과 같다:

$\nabla \times F = i \partial / \partial x P j \partial / \partial y Q k \partial / \partial z R$

$= (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) i - (\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}) j + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) k$

직관은 이렇다: 벡터장 속에 작은 바람개비를 놓았을 때 그것이 회전하는 정도와 방향을 측정한다. curl F = 0이면 비회전장(irrotational), 이것은 매우 특별한 성질이고 곧 보존장과 연결된다. 2D에서는 curl의 z성분만 남아 ∂Q/∂x − ∂P/∂y가 된다.

[노트 기록] div와 curl의 물리적 의미를 나란히 써라: div F = "소스/싱크의 세기(스칼라)", curl F = "회전의 축과 세기(벡터)". 그리고 행렬식 공식을 외워라.

여기서 멈추고 스스로 물어봐라: "div(curl F) = 0이 항상 성립할까? 왜?" 이것은 단순한 계산 문제가 아니라 ∇의 대수적 성질에 관한 질문이다. 직접 계산해보면 수학적으로 자동으로 0이 나온다 — 이 사실은 나중에 전자기학의 맥스웰 방정식에서 ∇ · B = 0 (자기 홀극이 없다)과 연결된다.

본 내용 C — 면적분과 선속

**면적분(surface integral)**은 벡터장이 곡면을 "뚫고 지나가는" 양을 측정한다. 이것을 **선속(flux, 플럭스)**이라고 한다. 물리적으로 단위시간에 곡면을 통과하는 유체의 양, 또는 전기장선이 곡면을 통과하는 양이 이에 해당한다.

스칼라 함수의 면적분 ∬_S f dS는 곡면 위에 정의된 함수를 넓이 원소 dS로 쌓는 것이고, 벡터장의 면적분(선속적분)은:

$\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{S} F \cdot \hat{n} d S$

여기서 n̂은 곡면의 단위 법선벡터(normal vector)다. 즉 F를 법선방향으로 투영(내적)한 다음 넓이로 적분한다. 곡면이 평면이면 쉽지만, 구면이나 포물면이면 매개변수화가 필요하다. 곡면을 r(u, v)로 매개변수화하면:

$d S = (\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}) d u d v$

외적(cross product)이 나온다! 이것이 법선벡터의 방향과 크기(넓이 원소)를 동시에 제공한다. 4단계에서 배운 야코비안이 여기서 다시 등장하는 셈이다 — 좌표 변환 시의 넓이 보정인자다.

본 내용 D — 세 가지 적분 정리

이제 이 여정의 가장 아름다운 부분이다. 세 가지 정리는 모두 같은 주제의 변주다: "경계에서의 정보로 내부를 알 수 있다." 이것은 수학적으로 **미적분의 근본정리(FTC)**의 고차원 버전이다. 2단계에서 배웠던 FTC: ∫ₐᵇ f'(x)dx = f(b) − f(a)를 기억하는가? 이것은 "내부(f'의 적분)가 경계(양 끝점의 f값 차이)로 결정된다"는 것이었다.

**그린 정리(Green's Theorem)**는 2차원 평면의 이야기다. 단순 닫힌 곡선 C(경계)와 그것이 둘러싼 영역 D(내부)에 대해:

$\oint_{C} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$

왼쪽은 경계 C를 따라가는 선적분(1차원 적분), 오른쪽은 내부 D에 대한 이중적분(2차원 적분)이다. 오른쪽의 피적분함수 ∂Q/∂x − ∂P/∂y가 무엇인지 기억하는가? 바로 curl F의 z성분이다. 그러니까 그린 정리는 "경계를 따라 F가 한 일 = 내부에서 curl F를 면적으로 적분한 것"이라고 읽힌다.

[노트 기록] 그린 정리의 두 가지 활용법을 써라: ① 선적분을 이중적분으로 바꿔서 쉽게 계산하기 ② 이중적분을 선적분으로 바꿔서 쉽게 계산하기 (예: 넓이 공식 A = ½∮(x dy − y dx)).

**스토크스 정리(Stokes' Theorem)**는 그린 정리의 3차원 버전이다. 곡면 S와 그 경계 곡선 C에 대해:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot d S$

"경계 C에서의 선적분 = 곡면 S 위에서 curl F의 면적분". 그린 정리가 평평한 영역에 대한 스토크스 정리의 특수 경우임을 알 수 있다. 물리적으로는 전자기학에서 패러데이 법칙 ∮ E · dl = −d/dt ∬ B · dS가 바로 스토크스 정리의 모습이다(James Clerk Maxwell이 이 정리를 이용해 방정식 체계를 완성했다).

**가우스 발산 정리(Gauss' Divergence Theorem)**는 3차원 입체 E와 그 경계 곡면 S에 대해:

$\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{E} (\nabla \cdot F) d V$

"폐곡면 S를 통한 선속 = 내부에서 div F를 부피적분한 것". 직관은 아름답다: 내부에서 총 뿜어져 나오는 양이 표면을 통해 나가는 양과 같다(유체 보존). 이것이 전자기학에서 가우스 법칙 ∮ E · dA = Q_enc/ε₀으로 나타난다.

세 정리의 패턴을 보라: ∫(낮은 차원 경계) = ∫(높은 차원 내부에서 미분 연산자). 이것은 20세기에 외미분 형식(differential forms)과 일반화된 스토크스 정리 ∫_∂Ω ω = ∫_Ω dω 로 통합되었다(Spivak, Calculus on Manifolds, 1965). 지금 당장 깊이 들어갈 필요는 없지만, 이 세 정리가 하나의 정리의 특수 경우라는 사실을 머릿속 한 켠에 저장해두어라.

[노트 기록] 세 정리 비교표를 그려라: 정리 이름 / 차원 / 왼쪽(경계) / 오른쪽(내부) / 핵심 연산자. 언제 어느 정리를 쓸지 "정리 선택 의사결정 트리"도 적어라: 2D 닫힌 곡선 → 그린 / 3D 곡면의 경계 곡선 → 스토크스 / 폐곡면 → 가우스.

본 내용 E — 보존장과 퍼텐셜 함수

이것이 오늘의 핵심 "눈치밥 스킬"과 직결된다. **보존장(conservative field)**은 선적분의 값이 경로에 무관하고, 오직 시작점과 끝점에만 의존하는 벡터장이다. 왜 "보존"이라는 이름이 붙었을까? 물리에서 보존장 속에서는 에너지가 보존되기 때문이다 — 중력장이나 전기장이 대표적이다.

다음 세 명제는 (적당한 조건 아래) 동치다:

(1) F는 보존장이다 — 즉 임의의 두 점 A, B에 대해 ∫_C F·dr이 경로 C에 무관하다. (2) curl F = 0 — F는 비회전장이다. (3) F = ∇f인 스칼라 함수 f가 존재한다 — f를 **퍼텐셜 함수(potential function)**라 한다.

(3)이 성립하면 선적분이 극적으로 단순해진다: ∫_C F·dr = f(B) − f(A). 이것은 FTC의 고차원 버전이다! 4단계에서 배운 편미분이 여기서 쓰인다: F = (P, Q, R) = ∇f이면 P = ∂f/∂x, Q = ∂f/∂y, R = ∂f/∂z이므로, 이 세 편미분 방정식을 연립해서 f를 구하면 된다.

퍼텐셜 함수를 구하는 절차는 생각해볼 것이 많으니 직접 고민해보길 바란다: P = ∂f/∂x라면 x로 적분하면 f를 얻을 수 있다. 단, 이때 "상수"가 아닌 "y, z의 함수"가 더해진다는 점을 주의해야 한다. 그리고 나서 Q = ∂f/∂y 조건을 이용해서 그 미지 함수를 결정하는 것이다. 이 과정에서 4단계의 편미분 계산 능력이 총동원된다.

[노트 기록] 보존장 판정 흐름도: curl F = 0 확인 → (단순 연결 영역에서) 보존장 → ∂f/∂x = P로 적분 → y-함수 미정 → ∂f/∂y = Q로 미정 함수 결정 → ∂f/∂z = R로 최종 검증.

주의해야 할 미묘한 점이 있다. curl F = 0이라고 항상 보존장인 것은 아니다. 영역이 단순 연결(simply connected)이어야 한다 — 즉 "구멍"이 없어야 한다. 구멍이 있는 영역(예: 원점이 제거된 평면)에서 curl F = 0이어도 보존장이 아닐 수 있다. 이것이 위상수학(topology)과 미적분학이 만나는 지점이다. 대표적 반례로 F = (−y/(x²+y²), x/(x²+y²))를 생각해보라 — 이 필드의 curl을 계산해보고, 단위원을 따라 선적분을 계산해보면 무슨 일이 벌어지는지 확인해보기 바란다.

본 내용 F — 복소해석 입문

고등학교에서 복소수 z = x + iy를 배웠다. 이제 복소수를 입력으로 받아 복소수를 출력하는 **복소함수 f(z)**를 생각한다. 예를 들어 f(z) = z² = (x+iy)² = (x²−y²) + 2xyi다. 복소함수는 2차원 → 2차원 함수이므로 시각화하기 어렵다. 그래서 별도의 도구가 필요하다.

**코시-리만 방정식(Cauchy-Riemann equations)**은 복소함수 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)가 복소 미분 가능(해석함수, analytic)하기 위한 필요충분조건이다:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

이 조건이 왜 나오는지 직접 생각해보자: 복소 미분 f'(z) = lim_{h→0} (f(z+h)−f(z))/h에서 h를 실수 방향으로 보낼 때와 순허수 방향으로 보낼 때 극한값이 같아야 한다는 요구에서 도출된다. 두 방향에서 극한이 일치한다는 조건을 전개하면 위 두 방정식이 나온다.

코시-리만 방정식이 성립하는 함수(해석함수)는 실수 세계의 미분 가능 함수와는 비교할 수 없을 만큼 강력한 성질을 가진다: 무한히 미분 가능하고, 테일러 급수로 표현 가능하며, 한 점에서의 정보로 전체 함수를 결정할 수 있다. 이 놀라운 경직성(rigidity)이 복소해석학의 핵심이다.

한 가지 흥미로운 연결: 코시-리만 방정식에서 ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = −∂v/∂x가 성립할 때, u와 v 각각에 라플라시안(∇²)을 취해보면 ∇²u = 0, ∇²v = 0이 성립한다! 즉 해석함수의 실수부와 허수부는 각각 4단계에서 배운 라플라스 방정식을 만족하는 **조화함수(harmonic function)**다. 이것이 전위(electric potential), 유체역학, 열전도 문제에서 복소해석학이 막강한 도구가 되는 이유다.

**유수정리(Residue Theorem)**는 복소적분의 최강의 무기다. 먼저 배경: 닫힌 경로 C를 따라 해석함수를 적분하면 코시 적분 정리에 의해 0이 된다. 그러나 내부에 특이점(singularity, 함수가 정의되지 않거나 발산하는 점)이 있으면 이야기가 달라진다. 특이점에서 f(z)의 로랑 급수(Laurent series) 전개:

$f (z) = \dots + \frac{a _{- 2}}{( z - z _{0} ) ^{2}} + \frac{a _{- 1}}{z - z _{0}} + a_{0} + a_{1} (z - z_{0}) + \dots$

여기서 a₋₁을 그 특이점에서 f의 **유수(residue, 留數)**라 한다. 그리고 유수정리:

$\oint_{C} f (z) d z = 2 π i k \sum Res (f, z_{k})$

내부의 모든 특이점에서의 유수를 더하고 2πi를 곱하면 닫힌 경로 적분이 나온다! 이것은 경이로운 결과다. 실수 적분에서 절대 계산할 수 없을 것 같은 적분들 — 예를 들어 ∫₋∞^∞ 1/(1+x²) dx — 을 복소 세계로 올려서 유수정리로 단번에 계산할 수 있다. 실수 분석의 "어려운 적분 → 복소 세계로 → 유수정리 → 답"이라는 경로는 이론물리학과 공학에서 반복적으로 나타나는 패턴이다(Ahlfors, Complex Analysis, 1979 참고).

[노트 기록] 유수정리 적용 절차: ① 특이점 위치 찾기 ② 어떤 특이점이 경로 내부에 있나 확인 ③ 각 특이점에서 유수 계산 (단순 극(simple pole)에서 Res = lim_{z→z₀} (z−z₀)f(z)) ④ 2πi × Σ유수 = 적분값.

본 내용 G — 해석학 기초: 르베그 적분과 힐베르트 공간

2단계에서 배운 리만 적분은 x축을 잘게 나누어 직사각형으로 근사하는 방법이었다. 이것은 연속함수나 유한개의 불연속점이 있는 함수에 잘 작동한다. 그러나 "유리수에서만 1이고 무리수에서는 0인 함수"(디리클레 함수)처럼 병적인 함수는 리만 적분이 불가능하다. **르베그 적분(Lebesgue integral)**은 x축 대신 y축을 기준으로 나누는 방식이다: "f(x) ≈ c인 점들의 집합"이 얼마나 큰가를 **측도(measure)**로 측정한다. 이렇게 하면 훨씬 더 광범위한 함수를 적분할 수 있다.

핵심 아이디어: 리만은 "x를 [a,b]로 나누어 각 구간 위의 값을 곱해서 더한다". 르베그는 "y를 나누어, 각 높이에 도달하는 x들의 집합의 측도를 곱해서 더한다". 이 방향 전환이 수학의 기초를 완전히 바꾸었다(Royden, Real Analysis, 1988).

**힐베르트 공간(Hilbert space)**은 무한차원 벡터 공간에 내적(inner product)이 정의된 구조다. 함수들의 집합이 벡터 공간을 이룰 수 있다: 예를 들어 [−π, π]에서 정의된 제곱가적분 함수들의 집합 L²([−π, π])에서 내적을 ⟨f, g⟩ = ∫ f(x)g(x)dx로 정의하면, {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ...}가 **정규직교기저(orthonormal basis)**를 이룬다. 3단계에서 배운 푸리에 급수가 바로 이 구조의 표현이다: 임의의 함수를 이 "무한차원 기저"로 분해하는 것. 그러므로 힐베르트 공간은 푸리에 급수, 양자역학(파동함수의 공간), 신호처리의 수학적 배경이다.

이 두 개념이 지금 당장 완전히 소화되지 않아도 괜찮다. 이것들은 대학원 과정의 언저리에 있는 내용이다. 중요한 것은 **"리만 적분보다 더 강력한 적분이 존재하며, 함수 공간 자체가 기하학적 구조를 가질 수 있다"**는 직관을 갖는 것이다.

프로젝트 — 40분 분량 문제들

모든 문제는 스스로 풀어라. 정답은 없다. 막히면 이론 부분을 다시 읽어라.

[Project 1] 선적분과 Green 정리

문제 1-A. 벡터장 F(x, y) = (y², 2xy)에 대해, 점 (0,0)에서 (1,1)까지 다음 두 경로를 따라 선적분 ∫_C F·dr을 각각 계산하라:

경로 α: 직선 y = x
경로 β: 포물선 y = x²

두 결과를 비교하라. 그 결과가 같은가, 다른가? 그 이유를 curl F를 계산해서 설명하라.

문제 1-B. F(x, y) = (x² − y, x + y²)에 대해, 단위원 x² + y² = 1 (반시계 방향)을 따라 ∮_C F·dr를 계산하라. 단, 직접 선적분으로 계산하지 말고, 그린 정리를 사용하라. 그린 정리를 적용하기 전에 먼저 curl의 2D 버전(∂Q/∂x − ∂P/∂y)을 계산하라.

[Project 2] 발산과 가우스 정리

문제 2-A. F(x, y, z) = (x³, y³, z³)에 대해 다음을 구하라: (1) div F = ∇ · F (2) curl F = ∇ × F (3) 단위구 x² + y² + z² ≤ 1의 표면을 통한 선속 ∯_S F·dS를 가우스 정리로 계산하라. (힌트: 구면좌표계에서 삼중적분으로 변환하라. 4단계에서 배운 것.)

문제 2-B. F(x, y, z) = (x, y, z)에 대해 같은 단위구 표면의 선속을 구하라. 이번에는 두 가지 방법으로: ① 가우스 정리 직접 ② 곡면 매개변수화로 직접 면적분. 두 방법의 답이 일치하는지 확인하라.

[Project 3] 보존장과 퍼텐셜

문제 3-A. 다음 벡터장들에 대해 curl을 계산하여 보존장인지 판정하라. 보존장이라면 퍼텐셜 함수 f를 구하라:

F₁ = (2xy + z², x² + 2yz, 2xz + y²)
F₂ = (y cos x, sin x + e^y, 1)
F₃ = (−y/(x²+y²), x/(x²+y²))에 대해서는 curl을 계산한 다음, 단위원을 따라 선적분을 직접 계산하여 결과를 해석하라.

문제 3-B. F₁이 보존장으로 판명되면, (0,0,0)에서 (1,1,1)까지의 ∫_C F₁·dr를 경로를 지정하지 않고 계산하라(퍼텐셜 함수 활용).

[Project 4] Stokes 정리

문제 4-A. F(x, y, z) = (−y, x, z²)에 대해, 원 C: x² + y² = 1, z = 0 (반시계 방향, z축 위에서 바라볼 때)를 경계로 하는 곡면에 스토크스 정리를 적용하여 ∮_C F·dr를 계산하라. (a) 먼저 curl F를 구하라. (b) 경계 C가 둘러싼 가장 자연스러운 곡면 S는 무엇인가? (단위 원판 z=0, x²+y²≤1) (c) 스토크스 정리를 적용하라. 법선벡터의 방향(위 또는 아래)을 어떻게 선택해야 하는지 생각하라.

[Project 5] 복소해석

문제 5-A. 다음 함수들이 코시-리만 방정식을 만족하는지 확인하라:

f(z) = z² (u = x²−y², v = 2xy로 분리)
g(z) = |z|² (u = x²+y², v = 0)

하나는 만족하고 하나는 만족하지 않는다. 각각 왜 그런지 설명하라.

문제 5-B. 다음 복소적분을 유수정리로 계산하라: $I = \oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{1}{z ^{2} - 1} d z$ 단, |z|=2는 반지름 2인 원이다. (1) 분모 z²−1의 근(특이점)을 모두 구하라. (2) 어떤 특이점이 경로 |z|=2 내부에 있는가? (3) 각 특이점에서 유수를 계산하라. (단순 극에서 Res(f, z₀) = lim_{z→z₀} (z−z₀)f(z)) (4) 유수정리를 적용하라.

문제 5-C (도전). 실수 적분 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$ 를 복소 방법으로 계산하라. f(z) = 1/(1+z²)를 반원(실수축 + 상반평면의 반원) 경로 위에서 적분하고, 반지름 R→∞ 극한을 취하라.

[Project 6] 종합 문제 — 맥스웰 방정식과의 연결

전자기학에서 진공 중 맥스웰 방정식(정적 경우):

∇ · E = ρ/ε₀ (가우스 법칙)
∇ × E = 0 (패러데이 법칙, 정적)
∇ · B = 0
∇ × B = μ₀J

문제 6-A. ∇ × E = 0이 성립한다면, 전기장 E는 보존장인가? 퍼텐셜 함수 V(전위)가 존재하는가? 존재한다면 E와 V의 관계식을 써라.

문제 6-B. 가우스 법칙 ∇ · E = ρ/ε₀을 구면 대칭인 점전하(원점에 전하 Q, 반지름 r인 구면 S에 대해) 경우에 가우스 정리를 써서 E의 크기를 구하라. (힌트: E = E(r) r̂으로 놓고 ∯_S E·dS를 계산하라.)

이 여섯 프로젝트를 통해 너는 ① 선적분 계산, ② 그린/스토크스/가우스 정리의 선택과 적용, ③ 보존장 판정과 퍼텐셜 구성, ④ 코시-리만 방정식 검증, ⑤ 유수정리 적용, ⑥ 물리적 맥락(맥스웰 방정식)과의 연결까지 모두 훈련하게 된다. 막히는 문제에서 "정리로 바꾸면 쉬워지나?", "curl이 0인가?", "특이점이 경로 안에 있나?"라는 세 가지 질문을 스스로에게 던지는 습관을 들여라.

미적분학 및 해석학 기초