3단계: 무한급수, 테일러 급수, 그리고 상미분방정식의 세계

Part A. 이론적 기초 — 왜 이것을 배우는가

너는 1단계에서 미분을, 2단계에서 적분을 배웠다. 미분은 "순간의 변화율"을 잡아내는 도구였고, 적분은 "조각을 무한히 쌓아 전체를 복원"하는 역과정이었다. 그런데 여기서 한 가지 근본적인 질문이 떠오른다. 우리가 다루는 함수 — 예를 들어 sin x, e^x, ln(1+x) 같은 것들 — 이런 함수의 정확한 값을 어떻게 계산할 수 있을까? 계산기를 누르면 sin(0.3) = 0.29552… 같은 숫자가 나오는데, 기계 안에서 대체 무슨 일이 벌어지는 걸까? 사인 함수는 삼각형의 변의 비(ratio)로 정의된다. 그런데 삼각형을 직접 그리지 않고 숫자만 가지고 어떻게 그 비율을 계산한다는 말인가? 이 질문의 답이 바로 **테일러 급수(Taylor Series)**다. 모든 "복잡한" 함수를 다항식의 무한한 합으로 바꿔버리는 것이다. 다항식이면 덧셈과 곱셈만으로 계산할 수 있으니까. 하지만 "무한한 합"이라는 말이 나오는 순간, 우리는 먼저 **무한급수(Infinite Series)**라는 개념을 제대로 이해해야 한다. 무한히 더한다는 게 과연 의미가 있는 건지, 그 합이 어떤 유한한 값으로 "수렴(converge)"하는지를 판정하는 도구가 필요하다. 그리고 이 단계에는 또 하나의 거대한 주제가 등장한다. **상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)**이다. 자연현상을 수학으로 기술하면, 대부분 "변화율에 관한 방정식" 형태가 된다. 스프링에 매달린 추의 운동, 방사성 물질의 붕괴, 인구의 증가 — 이 모든 것이 미분방정식으로 표현된다. 1단계에서 미분을 배운 이유, 2단계에서 적분을 배운 이유가 사실은 여기서 미분방정식을 풀기 위한 준비였다고 해도 과언이 아니다. 물리학자 리처드 파인만(Richard Feynman)은 이렇게 말했다: "자연의 법칙은 미분방정식의 언어로 쓰여 있다." 뉴턴의 F = ma도, 실은 F = m(d²x/dt²)라는 2차 미분방정식이다. 이제 너는 그 방정식을 직접 풀 수 있는 사람이 될 것이다.

Part B. 본 내용

1. 무한급수: 무한히 더해도 괜찮은가?

**급수(Series)**란 수열(sequence)의 항을 순서대로 끝없이 더한 것이다. 수열 {a_n}이 있을 때, S = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ = Σ(n=1→∞) aₙ 이것을 무한급수라 부른다. 여기서 핵심 질문은 "이 합이 어떤 유한한 숫자로 다가가는가(수렴), 아니면 끝없이 커지거나 진동하는가(발산)"이다. 부분합(Partial Sum) S_N = a₁ + a₂ + ⋯ + a_N을 정의하고, N → ∞일 때 S_N이 어떤 값 L에 수렴하면 급수가 수렴한다고 말한다. 이것이 급수 수렴의 엄밀한 정의다. 가장 먼저 알아야 할 사실이 하나 있다. **발산 판정법(Divergence Test, 또는 n-th Term Test)**이다. 만약 lim(n→∞) aₙ ≠ 0이면, 급수 Σaₙ은 반드시 발산한다. 직관적으로 당연하다 — 더하는 항이 0으로 줄어들지 않는데 무한히 더하면 합이 유한할 리가 없다. 하지만 주의해야 할 함정이 있다. 역(converse)은 성립하지 않는다. lim aₙ = 0이어도 급수가 발산할 수 있다. 가장 유명한 예가 조화급수(Harmonic Series) Σ(1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ 이다. 각 항은 0으로 줄어들지만, 합은 무한대로 발산한다. 이것을 14세기에 니콜 오렘(Nicole Oresme)이 증명했는데, 방법이 기가 막힌다. 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2, … 이런 식으로 묶으면 1/2가 무한히 쌓인다. 이 사실을 항상 기억하라: "항이 0으로 간다"는 수렴의 필요조건이지 충분조건이 아니다.

[노트 기록] 발산 판정법: lim(n→∞) aₙ ≠ 0 ⟹ Σaₙ 발산. 역은 거짓 (반례: 조화급수).

이제 본격적인 수렴 판정법으로 들어가자. 스스로 "왜 이 방법이 통하는지" 생각하면서 읽어야 한다. 단순히 공식을 외우는 것과, 왜 그런지 이해하는 것은 하늘과 땅 차이다.

(1) 비교 판정법 (Comparison Test)

아이디어는 단순하다. 모르는 급수를 이미 알고 있는 급수와 비교하는 것이다. 0 ≤ aₙ ≤ bₙ (모든 충분히 큰 n에 대해)일 때, Σbₙ이 수렴하면 Σaₙ도 수렴한다. 큰 놈이 유한하니 작은 놈은 당연히 유한하다. 반대로, Σaₙ이 발산하면 Σbₙ도 발산한다. 작은 놈이 무한대인데 큰 놈이 유한할 리 없다. 여기서 "이미 알고 있는 급수"로 가장 자주 등장하는 것이 p-급수다: Σ(1/n^p). 이 급수는 p > 1이면 수렴, p ≤ 1이면 발산한다. 이것은 네가 반드시 즉사 판단해야 하는 사실이다 — 눈치밥 스킬의 핵심이다. p = 1이면 조화급수(발산), p = 2이면 Σ(1/n²) = π²/6 (수렴, 오일러가 증명), p = 1/2이면 Σ(1/√n) (발산). 왜 p > 1에서 수렴하는지 궁금하지 않은가? 이것은 적분 판정법으로 증명할 수 있는데, 잠시 뒤에 나온다. **극한 비교 판정법(Limit Comparison Test)**도 중요하다. 직접 부등식을 세우기 어려울 때, lim(n→∞) aₙ/bₙ = L (0 < L < ∞)이면 Σaₙ과 Σbₙ은 같은 수렴성을 가진다. 예를 들어, Σ(n/(n³+1))의 수렴 여부를 판정하려면, n이 크면 n/(n³+1) ≈ n/n³ = 1/n²이니까 bₙ = 1/n²과 비교한다. lim(n→∞) [n/(n³+1)] / [1/n²] = lim n³/(n³+1) = 1. L = 1이고, Σ(1/n²)은 p = 2 > 1이므로 수렴. 따라서 원래 급수도 수렴한다. 이 감각 — "큰 n에서 지배적인 항만 보고 p-급수로 환원" — 이것을 체화해야 한다.

(2) 비율 판정법 (Ratio Test)

L = lim(n→∞) |a_(n+1) / aₙ|을 구해서, L < 1이면 수렴, L > 1이면 발산, L = 1이면 판정 불가. 이 판정법이 특히 강력한 상황이 있다. 팩토리얼(n!)이나 거듭제곱(r^n)이 포함된 급수다. 왜냐하면 연속한 항의 비를 취하면 팩토리얼은 n!/(n+1)! = 1/(n+1)로 깔끔하게 정리되고, 거듭제곱은 r^(n+1)/r^n = r로 상수가 되기 때문이다. 예를 들어, Σ(n!/nⁿ)에서 a_(n+1)/aₙ = [(n+1)!/(n+1)^(n+1)] × [nⁿ/n!] = (n/(n+1))ⁿ → 1/e < 1. 수렴이다. 비율 판정법을 쓸지 말지는 "n!이나 r^n이 보이는가?"로 판단하면 거의 틀리지 않는다.

(3) 적분 판정법 (Integral Test)

f(x)가 [1,∞)에서 양(positive), 연속, 감소함수이고, aₙ = f(n)이면, Σaₙ과 ∫₁^∞ f(x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 왜 그런가? 감소함수이므로 f(n+1) ≤ ∫ₙ^(n+1) f(x)dx ≤ f(n)이다. 이걸 n = 1부터 N까지 합하면, 부분합이 적분으로 위아래로 끼어진다(squeeze). 이것으로 p-급수의 수렴 조건을 증명할 수 있다: ∫₁^∞ (1/x^p)dx = [x^(1-p)/(1-p)]₁^∞. p > 1이면 이 적분이 유한하고, p ≤ 1이면 발산한다. p-급수의 비밀이 바로 이것이다 — 급수의 수렴이 이상적분(improper integral)의 수렴과 동치라는 사실.

(4) 교대급수 판정법 (Alternating Series Test, Leibniz Test)

**교대급수(Alternating Series)**란 부호가 번갈아 바뀌는 급수, 즉 Σ(-1)^n · bₙ (bₙ > 0) 형태다. 라이프니츠 판정법은 놀라울 만큼 간단하다: (i) bₙ이 단조감소하고, (ii) lim bₙ = 0이면, 교대급수는 수렴한다. 조화급수 Σ(1/n)은 발산하지만, 교대조화급수 Σ((-1)^(n+1)/n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ = ln 2는 수렴한다! 부호가 번갈아 바뀌면서 양과 음이 상쇄되어, 부분합이 최종값 주위를 점점 좁게 진동하며 수렴하는 것이다. 교대급수에서 중요한 추가 사실: 오차 추정이 쉽다. N항까지의 부분합으로 근사하면, 오차는 |다음 항| = b_(N+1) 이하다. 이것을 **교대급수 나머지 정리(Alternating Series Remainder)**라 한다.

[노트 기록] 수렴 판정법 전략 요약:

먼저 lim aₙ ≠ 0인지 확인 (발산 판정법)
n!, r^n 보이면 → 비율 판정법
1/n^p 형태 → p-급수 직접 판정 또는 비교 판정법
부호 교대 → 교대급수 판정법
깔끔한 f(x) 가능 → 적분 판정법

2. 테일러 급수와 맥클로린 급수: 함수를 다항식으로 해부하다

앞에서 "sin x의 값을 어떻게 계산하는가?"라고 물었다. 답은 이것이다. 함수 f(x)가 a 근방에서 무한히 미분 가능하면, **테일러 급수(Taylor Series)**로 전개할 수 있다: f(x) = Σ(n=0→∞) f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! · (x-a)² + ⋯ 특별히 a = 0인 경우를 **맥클로린 급수(Maclaurin Series)**라 한다. 이 공식이 말하는 것은 심오하다: 한 점에서의 함수값과 그 점에서의 모든 도함수를 알면, 함수 전체를 복원할 수 있다. 미분이라는 "국소적(local)" 정보가 함수의 "전역적(global)" 행동을 결정한다는 뜻이다. 스스로 직접 유도해보자. sin x의 맥클로린 급수를 구하려면, f(x) = sin x에서 f(0) = 0, f'(0) = cos 0 = 1, f''(0) = -sin 0 = 0, f'''(0) = -cos 0 = -1, f⁽⁴⁾(0) = sin 0 = 0, … 패턴이 보이는가? 0이 아닌 항만 추리면: sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ⋯ = Σ(n=0→∞) (-1)ⁿ x^(2n+1) / (2n+1)! 마찬가지로: cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ = Σ(n=0→∞) (-1)ⁿ x^(2n) / (2n)! e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ = Σ(n=0→∞) xⁿ/n! 잠깐, 여기서 놀라운 것을 발견할 수 있다. e^x의 급수에 x 대신 ix를 넣으면 (i는 허수단위): e^(ix) = 1 + ix - x²/2! - ix³/3! + x⁴/4! + ix⁵/5! - ⋯. 실수부와 허수부를 분리하면 e^(ix) = cos x + i sin x. 이것이 바로 **오일러 공식(Euler's Formula)**이다! x = π를 넣으면 e^(iπ) + 1 = 0, "수학에서 가장 아름다운 공식"이라 불리는 오일러 항등식이 나온다. 테일러 급수가 이 아름다움의 근원인 것이다. **오차 추정(나머지 항, Remainder Term)**은 실용적으로 매우 중요하다. n차 테일러 다항식으로 f(x)를 근사할 때, 오차 R_n(x)는 라그랑주 나머지(Lagrange Remainder) R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n+1)! · (x-a)^(n+1) (c는 a와 x 사이 어딘가)로 주어진다. |f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)|의 상한을 M이라 하면, |R_n(x)| ≤ M|x-a|^(n+1)/(n+1)!. 이 공식 덕분에 "몇 차 항까지 쓰면 원하는 정확도를 얻을 수 있는가?"를 계산할 수 있다. 계산기와 컴퓨터가 삼각함수를 계산할 때 실제로 이 원리를 사용한다 — 테일러 다항식의 유한 항으로 충분한 정확도를 확보하는 것이다.

[노트 기록] 반드시 암기할 맥클로린 급수: e^x, sin x, cos x, 1/(1-x), ln(1+x). 각각의 수렴 반경(radius of convergence)도 함께 정리할 것.

급수가 수렴하는 x의 범위를 수렴 반경(Radius of Convergence) R이라 한다. 비율 판정법이나 근 판정법(Root Test)으로 구할 수 있다. e^x, sin x, cos x는 R = ∞ (모든 실수에서 수렴), 1/(1-x) = Σxⁿ은 R = 1 (|x| < 1에서만 수렴), ln(1+x)도 R = 1이다. 수렴 반경 바깥에서 급수를 쓰면 의미 없는 발산하는 합을 얻는다 — 마치 유효기간이 지난 약처럼 쓸모없어지는 것이다.

3. 상미분방정식(ODE): 변화의 법칙을 푸는 기술

미분방정식이란 미지함수와 그 도함수의 관계를 나타낸 방정식이다. 대수방정식 x² - 3x + 2 = 0의 해가 "숫자"(x = 1, 2)인 것과 달리, 미분방정식의 해는 함수 자체다. 예를 들어, dy/dx = 2x의 해는 y = x² + C다. 여기서 C는 **적분 상수(임의상수)**인데, 이것이 의미하는 바가 크다: 미분방정식은 일반적으로 무한히 많은 해를 가지며, 그 해들이 하나의 "가족(family)"을 이룬다. 이 가족 전체를 **일반해(General Solution)**라 하고, 초기조건(예: y(0) = 3)을 넣어 C를 결정하면 **특수해(Particular Solution)**를 얻는다. ODE를 만났을 때 가장 먼저 해야 할 일은 분류다. "이 방정식은 어떤 타입인가?"를 3초 안에 판단해야 한다. 이것이 이 단계의 핵심 눈치밥 스킬이다.

(1) 분리형 ODE (Separable ODE)

dy/dx = g(x)·h(y) 형태, 즉 x와 y를 양변으로 분리할 수 있는 방정식이다. 풀이법: (1/h(y))dy = g(x)dx로 쓴 뒤 양변을 적분한다. 예: dy/dx = xy. 양변을 분리하면 (1/y)dy = x dx. 적분하면 ln|y| = x²/2 + C, 따라서 y = Ae^(x²/2) (A = ±e^C). 분리형을 인식하는 감각: 우변이 "x만의 함수 × y만의 함수"로 인수분해되는지 보라.

(2) 1차 선형 ODE (First-Order Linear ODE)

dy/dx + P(x)y = Q(x) 형태다. "선형(linear)"이라는 말은 y와 dy/dx가 1차로만 등장한다는 뜻이다 (y², y·dy/dx 같은 항이 없다). 풀이의 핵심 도구는 적분인자(Integrating Factor) μ(x) = e^(∫P(x)dx)다. 양변에 μ를 곱하면, 좌변이 d/dx[μ·y]로 정리되는 마법이 일어난다 — 이것은 곱의 미분법(Product Rule)의 역과정이다. 그러면 μ·y = ∫μ·Q dx로 바로 적분할 수 있다. 왜 μ = e^(∫P dx)인지 스스로 유도해보라. 힌트: d/dx[μy] = μy' + μ'y = μ(y' + Py)이 되려면 μ' = μP여야 한다. 이 자체가 분리형 ODE이다!

(3) 완전미분방정식 (Exact ODE)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 형태에서, ∂M/∂y = ∂N/∂x이면 "완전(exact)"하다고 한다. 이것은 어떤 함수 F(x,y)가 존재하여 dF = Mdx + Ndy, 즉 해가 F(x,y) = C (등고선)의 형태라는 뜻이다. 편미분에서 혼합편도함수의 순서 교환(클레로 정리, ∂²F/∂y∂x = ∂²F/∂x∂y)이 성립하기 때문에 ∂M/∂y = ∂N/∂x가 완전성의 조건이 된다. 풀이법: F_x = M에서 F를 x에 대해 적분하고, F_y = N 조건으로 미정 함수를 결정한다. 여기서 잠깐 2단계를 떠올려보자. 적분할 때 "어떤 테크닉을 쓸까?" 의사결정 트리를 배웠다. ODE에서도 마찬가지다. ODE 분류 의사결정 트리: 먼저 분리 가능한가? → Yes면 분리형. No라면 dy/dx + P(x)y = Q(x) 형태인가? → Yes면 1차 선형. No라면 Mdx + Ndy = 0으로 쓰고 ∂M/∂y = ∂N/∂x인가? → Yes면 완전. 이 순서를 루틴처럼 밟으면 된다.

[노트 기록] ODE 분류 플로우차트를 직접 그려서 정리할 것. 각 타입마다 풀이법의 핵심 단계를 3줄 이내로 요약.

4. 2차 선형 ODE: 진동하는 세계의 수학

자연에서 가장 보편적인 운동이 **진동(oscillation)**이다. 시계추, 기타 줄, 전자회로, 심지어 분자의 결합까지. 이 모든 것을 지배하는 방정식이 2차 선형 ODE다: ay'' + by' + cy = f(x) (a, b, c는 상수) f(x) = 0이면 제차(homogeneous), f(x) ≠ 0이면 **비제차(non-homogeneous)**라 한다.

제차 2차 선형 ODE: 특성방정식

ay'' + by' + cy = 0의 해를 y = e^(rx)로 가정하면 (이건 "경험에서 나온 영감 있는 추측"이다 — 지수함수를 미분해도 지수함수이므로), ar²e^(rx) + bre^(rx) + ce^(rx) = 0, 즉 e^(rx)(ar² + br + c) = 0. e^(rx) ≠ 0이므로: ar² + br + c = 0 — 이것이 **특성방정식(Characteristic Equation)**이다. 2차 방정식이므로 근이 두 개 나온다. 이 근의 형태에 따라 일반해가 결정된다:

(i) 서로 다른 두 실근 r₁, r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) (ii) 중근 r: y = (C₁ + C₂x)e^(rx) — 왜 xe^(rx)가 나오는지 생각해보라. e^(rx) 하나로는 2차 방정식의 "두 개의 독립적인 해"를 만들 수 없기 때문이다. (iii) 복소근 r = α ± βi: y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx) — 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ가 여기서 다시 등장한다!

이 세 경우를 **특성방정식의 판별식(b² - 4ac)**으로 즉시 구분할 수 있다. 양수면 (i), 0이면 (ii), 음수면 (iii). 근만 보고 해의 형태를 바로 쓰는 것 — 이것이 이 단계의 핵심 스킬이다.

비제차: 미정계수법 (Method of Undetermined Coefficients)

ay'' + by' + cy = f(x)에서, 해는 y = y_h + y_p (제차해 + 특수해)이다. 특수해 y_p를 구하는 방법이 미정계수법이다. 핵심 아이디어: f(x)의 형태를 보고, y_p를 "같은 형태"로 추측하되 계수를 미지수로 놓는다. f(x) = 다항식이면 y_p도 같은 차수의 다항식, f(x) = e^(kx)이면 y_p = Ae^(kx), f(x) = sin ωx 또는 cos ωx이면 y_p = A cos ωx + B sin ωx. 추측한 y_p를 원래 방정식에 대입하여 계수를 결정한다. 주의: 만약 추측한 y_p가 이미 y_h의 일부라면 (즉, 특성방정식의 근과 겹치면), x를 한번 더 곱해야 한다. 이것을 "수정 규칙(modification rule)"이라 한다.

5. 물리 응용: 수식이 현실이 되는 순간

지수 성장/붕괴 (Exponential Growth/Decay)

dy/dt = ky. 이것은 분리형이고, 해는 y = y₀e^(kt)이다. k > 0이면 지수 성장(세균 증식, 복리 이자), k < 0이면 지수 붕괴(방사성 붕괴, 약물 대사). 반감기(half-life) t_{1/2}는 y₀e^(kt_{1/2}) = y₀/2에서 t_{1/2} = ln 2 / |k|. 탄소-14의 반감기가 약 5730년이라는 사실로부터 고고학적 연대를 측정하는 방사성 탄소 연대 측정법이 바로 이 ODE에서 나온다.

단진동 (Simple Harmonic Motion, SHM)

스프링에 매달린 물체: mx'' = -kx, 즉 x'' + ω²x = 0 (ω² = k/m). 특성방정식: r² + ω² = 0, 근 r = ±iω. 따라서 x = C₁cos ωt + C₂sin ωt = A cos(ωt - φ). 여기서 ω = √(k/m)은 각진동수(angular frequency), 주기 T = 2π/ω, A는 진폭(amplitude), φ는 **위상(phase)**이다. 스프링이 단단할수록(k 큼) 빨리 진동하고, 물체가 무거울수록(m 큼) 느리게 진동한다. 수식이 이 물리적 직관과 정확히 일치하는지 확인하라.

감쇠진동 (Damped Oscillation)

현실의 진동은 마찰이나 공기저항 때문에 점점 줄어든다. mx'' + bx' + kx = 0 (b > 0은 감쇠계수). 특성방정식 mr² + br + k = 0의 판별식 Δ = b² - 4mk에 따라:

Δ < 0 (부족감쇠, underdamped): 진동하면서 서서히 줄어듦. x = e^(-bt/2m)(C₁cos ω_d t + C₂sin ω_d t), ω_d = √(4mk - b²)/(2m).
Δ = 0 (임계감쇠, critically damped): 진동 없이 가장 빨리 평형으로 복귀.
Δ > 0 (과감쇠, overdamped): 진동 없이 느리게 복귀. 두 지수함수의 합.

자동차의 서스펜션, 문 닫히는 장치(도어클로저)는 임계감쇠에 가깝게 설계한다. 진동 없이 최대한 빨리 안정되어야 하니까. 수학이 공학 설계의 핵심이 되는 순간이다.

[노트 기록] 감쇠진동의 세 가지 경우를 판별식 Δ로 분류하고, 각 경우의 해의 형태와 물리적 의미를 정리할 것. 단진동의 주기 T = 2π/ω, 반감기 t_{1/2} = ln2/|k| 공식을 함께 기록.

여기서 앞의 내용을 돌아보자. 특성방정식의 복소근이 진동을 만들고, 실근이 지수적 감쇠/성장을 만든다는 것이 하나의 통일된 그림 안에 있다. 테일러 급수에서 발견한 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ가 바로 이 다리 역할을 한다. 지수함수와 삼각함수는 복소수를 통해 하나의 가족이다 — 이 관점이 바로 수학이 아름다운 이유 중 하나다.

Part C. 프로젝트 (예제 문제)

아래 문제들을 정답 없이 직접 풀어보라. 풀이 과정을 노트에 꼼꼼히 적을 것. 예상 소요시간: 약 40분.

[섹션 1] 무한급수 수렴 판정 (8문제)

문제 1. Σ(n=1→∞) n/(n² + 1)의 수렴/발산을 판정하라. (힌트: 큰 n에서 지배적인 항을 생각하라.)

문제 2. Σ(n=1→∞) 1/(n·2ⁿ)의 수렴/발산을 판정하라.

문제 3. Σ(n=1→∞) (-1)ⁿ · n/(n² + 3)의 수렴/발산을 판정하라.

문제 4. Σ(n=2→∞) 1/(n·(ln n)²)의 수렴/발산을 판정하라. (어떤 판정법이 가장 자연스러운가?)

문제 5. Σ(n=1→∞) (2n)! / (4ⁿ · (n!)²)의 수렴/발산을 판정하라.

문제 6. Σ(n=1→∞) sin(1/n)의 수렴/발산을 판정하라. (sin θ ≈ θ when θ ≈ 0을 기억하라.)

문제 7. Σ(n=1→∞) (-1)ⁿ / √n에 대해: (a) 수렴하는가? (b) 절대수렴하는가 조건수렴하는가?

문제 8. Σ(n=0→∞) 3ⁿ / n!의 수렴/발산을 판정하라.

[섹션 2] 테일러 급수 (5문제)

문제 9. f(x) = e^(-x²)의 맥클로린 급수를 x⁶항까지 구하라. (e^u의 급수에서 u = -x²을 대입하라.)

문제 10. ln(1+x)의 맥클로린 급수를 이용하여 ln(1.1)의 값을 소수점 아래 4자리까지 근사하라. 몇 차 항까지 써야 하는지 오차 추정도 함께 하라.

문제 11. sin x의 맥클로린 급수를 이용하여 (sin x)/x의 맥클로린 급수를 구하고, lim(x→0) (sin x)/x = 1임을 급수로 확인하라.

문제 12. f(x) = 1/(1+x²)의 맥클로린 급수를 구하고, 이를 항별 적분하여 arctan x의 급수를 유도하라. 수렴 반경은?

문제 13. 3차 맥클로린 다항식을 이용하여 cos(0.5)를 근사하고, 라그랑주 나머지로 오차의 상한을 구하라.

[섹션 3] ODE 분류 및 풀이 (8문제)

문제 14. dy/dx = (x² + 1) / (y + 1). 어떤 타입인가? 일반해를 구하라.

문제 15. dy/dx + 2y/x = x³. 어떤 타입인가? 일반해를 구하라.

문제 16. (2xy + 3)dx + (x² - 1)dy = 0. 완전미분방정식인지 확인하고, 맞다면 풀어라.

문제 17. dy/dx = y/x + x. 어떤 타입인가? 적분인자를 이용하여 풀어라.

문제 18. dy/dt = 0.05y, y(0) = 1000. 특수해를 구하고, y가 2000이 되는 시점 t를 구하라. (이것은 어떤 물리 모델인가?)

문제 19. y'' - 5y' + 6y = 0. 특성방정식을 세우고 일반해를 구하라.

문제 20. y'' + 4y' + 4y = 0. 특성방정식의 근은? 일반해의 형태는?

문제 21. y'' + 9y = 0. 일반해를 구하고, 이것이 물리적으로 어떤 운동을 나타내는지 설명하라. 각진동수와 주기를 구하라.

[섹션 4] 2차 비제차 ODE 및 물리 응용 (6문제)

문제 22. y'' - 3y' + 2y = 4e^(3x). 일반해(y_h + y_p)를 구하라.

문제 23. y'' + y = sin x. 특수해를 미정계수법으로 구할 때, 왜 y_p = A sin x + B cos x로 추측하면 안 되는지 설명하고, 올바른 추측을 하여 풀어라.

문제 24. 질량 m = 2 kg인 물체가 스프링 상수 k = 18 N/m인 스프링에 연결되어 있다. 감쇠가 없을 때, 운동방정식을 세우고 일반해를 구하라. 초기조건 x(0) = 0.5 m, x'(0) = 0일 때 특수해를 구하고, 진폭과 주기를 구하라.

문제 25. 위 문제에 감쇠계수 b = 4 N·s/m이 추가되었다. 2x'' + 4x' + 18x = 0을 풀고, 어떤 감쇠 유형인지 판별하라.

문제 26. 방사성 물질의 양이 dy/dt = -0.003y를 따른다. 반감기를 구하라. 초기량이 500 g이면, 100년 후 남은 양은?

문제 27. 인구 P가 dP/dt = 0.02P를 따르고, 현재 인구가 100만 명이다. (a) 50년 후 인구를 구하라. (b) 이 모델의 한계를 논하라 (왜 현실에서 무한히 성장할 수 없는지).

Part D. 평가 기준

영역	배점	핵심 평가 포인트
급수 수렴 판정	20점	적절한 판정법 선택, 논리적 전개, p-급수 즉시 판단
테일러 전개	20점	급수 유도 정확성, 오차 추정, 수렴 반경 이해
ODE 분류/풀이	30점	3초 분류, 풀이법 정확한 적용, 일반해/특수해 구분
물리 모델링	15점	수식과 물리적 의미 연결, 단위 확인, 해석 능력
스피드 분류	15점	문제를 보자마자 타입 판단, 특성방정식 근 → 해 형태 즉시 연결

통과 기준: 80점 이상. 특히 ODE 분류/풀이 영역에서 24점(80%) 이상 확보해야 한다. 급수 판정법 선택이 적절하지 않거나, 특성방정식 근의 형태와 해를 즉시 연결하지 못하면 해당 영역에서 큰 감점이 있다.

문제를 다 풀었으면, 답안을 가져와라. 하나하나 채점하면서, 틀린 부분은 왜 틀렸는지, 어떤 개념이 부족했는지를 구체적으로 짚어주겠다. 특히 "어떤 판정법/풀이법을 왜 선택했는지"의 근거를 반드시 적어라 — 정답보다 사고 과정이 더 중요하다.

미적분학 및 해석학 기초