4단계: 다변수 미적분학과 편미분방정식 입문

Part 1. 이론적 기초 — "변수가 하나 더 늘어나면 세상이 달라진다"

지금까지 너는 $y=f(x)$라는 세계에서 살았다. 입력 하나, 출력 하나. 그래프를 그리면 평면 위의 곡선이었고, 미분하면 접선의 기울기 하나가 튀어나왔다. 그런데 잠깐 생각해 보자. 너의 방 안 온도는 $x$좌표만으로 결정되는가? 당연히 아니다. 방 안의 온도 $T$는 위치 $(x,y,z)$와 시각 $t$에 동시에 의존한다. 즉 $T=T(x,y,z,t)$이다. 이것이 **다변수 함수(multivariable function)**의 가장 자연스러운 등장이다. 3단계에서 ODE를 풀 때 "독립변수가 $t$ 하나"인 상황만 다뤘는데, 현실의 물리 현상은 거의 예외 없이 여러 변수에 동시 의존한다. 이 간극을 메우는 것이 바로 4단계의 핵심이다.

다변수로 넘어가기 전에, 1단계에서 배운 개념 몇 가지를 환기하자. **미분의 본질은 "국소적 선형 근사"**였다. $f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\cdot h$라는 식이 그 뜻이다. 이 아이디어는 변수가 100개가 되어도 변하지 않는다. 다만, 기울기 하나로는 부족하고 각 변수 방향으로의 기울기를 모두 모은 벡터가 필요해진다. 이것이 **경도(gradient)**이고, 기호로는 $\nabla f$라고 쓴다. 또한 2단계에서 배운 적분 — "잘게 쪼개서 더한다" — 역시 그대로 확장된다. 한 줄(1차원)을 쪼개던 것을 면(2차원)이나 부피(3차원)로 쪼개면 이중적분, 삼중적분이 된다.

한 가지 더. 3단계에서 ODE를 분류할 때 "독립변수의 개수"를 체크했던 걸 기억하는가? 독립변수가 하나면 ODE, 둘 이상이면 **편미분방정식(PDE, Partial Differential Equation)**이다. 열이 퍼지는 현상, 줄을 튕겼을 때 파동이 전파되는 현상 — 이런 것들은 전부 PDE로 기술된다. 4단계의 후반부에서 PDE를 처음 만나게 되는데, 놀랍게도 3단계에서 익힌 ODE 풀이법과 2단계의 급수 지식이 합쳐져서 변수분리법이라는 강력한 기법이 탄생한다. 즉, 4단계는 이전 3개 단계의 모든 무기를 총동원하는 무대다.

[노트 기록] 지금 노트에 다음을 적어두자. "변수가 $n$개인 함수 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$에서: (1) 하나의 변수만 움직이고 나머지 고정 → 편미분, (2) 모든 편미분을 벡터로 묶기 → 경도 $\nabla f$, (3) 변수별로 쪼개서 적분 → 다중적분, (4) 독립변수 2개 이상의 미분방정식 → PDE." 이 네 문장이 4단계 전체의 뼈대다.

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Part 2. 본 내용 — 편미분에서 PDE까지, 끊어지지 않는 하나의 흐름

2-1. 편미분과 전미분 — "한 놈만 움직여라"

$f(x,y)=x^{2}y+3x{y}^3$이라는 함수가 있다고 하자. $x$에 대한 편미분(partial derivative) $\frac{\partial f}{\partial x}$는 $y$를 상수 취급하고 $x$로만 미분하는 것이다. 마치 $y$가 3이나 7 같은 그냥 숫자인 척하는 것이다. 그러면 $\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3y^3$이 된다. 반대로 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+9x{y}^2$이다. 편미분 기호 $\partial$("라운드 디"라고 읽는다)는 "다른 변수는 건드리지 않았다"는 선언이다. 이것이 일반 미분 기호 $d$와 구별되는 이유다.

그런데 현실에서는 $x$만 움직이거나 $y$만 움직이는 일은 드물다. 둘 다 동시에 조금씩 변하면 $f$는 얼마나 변할까? 이걸 알려주는 것이 **전미분(total differential)**이다: $$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$ 1단계에서 $df=f^{\prime }(x)dx$였던 것의 자연스러운 확장이다. 전미분은 "각 변수가 만드는 변화를 독립적으로 더한다"는 선형 근사의 다변수 버전이다. James Stewart의 Calculus: Early Transcendentals (9th ed., §14.4)에서는 이를 "다변수 함수의 접평면(tangent plane) 근사"라고 표현한다. 접선이 접평면으로 승격된 것이다.

여기서 잠깐 스스로 생각해 보자. $f(x,y)=x^2+y^2$의 그래프는 어떤 모양일까? 3차원에서 원점을 꼭짓점으로 하는 그릇 모양의 **포물면(paraboloid)**이다. 이 곡면 위의 한 점에서 접평면을 댄다고 상상해 보라. 그 접평면이 바로 전미분이 기술하는 선형 근사다.

2-2. 방향도함수와 경도 — "어느 방향이 가장 가파른가?"

편미분은 $x$축이나 $y$축 방향으로의 변화율만 알려준다. 그런데 산을 오를 때 꼭 동쪽이나 북쪽으로만 가는 건 아니지 않은가? 임의의 방향 $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ (단위벡터)로 한 발짝 내딛었을 때의 변화율이 **방향도함수(directional derivative)**다: $$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}=\frac{\partial f}{\partial x}{u}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{u}_2$$ 여기서 등장하는 $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$가 바로 **경도(gradient)**다. 경도는 벡터이고, 그 방향은 함수값이 가장 빠르게 증가하는 방향, 그 크기는 그 방향으로의 변화율의 최댓값이다. 이 사실은 내적의 성질 $\nabla f\cdot \mathbf{u}=|\nabla f||\mathbf{u}|\cos \theta$에서 바로 나온다. $\cos \theta =1$, 즉 $\mathbf{u}$가 $\nabla f$와 같은 방향일 때 방향도함수가 최대가 되기 때문이다.

눈치밥 스킬 발동: $\nabla$ 기호가 보이면 즉시 "경도"라고 인식하라. 나아가 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 발산(divergence), $\nabla \times \mathbf{F}$는 회전(curl)이다. 지금은 경도만 쓰지만, 5단계에서 발산과 회전이 등장할 때 이 "눈치밥"이 결정적으로 작용한다.

[노트 기록] 경도의 세 가지 핵심 성질을 적자. "(1) $\nabla f$의 방향 = $f$가 가장 빨리 증가하는 방향, (2) $|\nabla f|$ = 그 방향의 변화율, (3) $\nabla f$는 등고선(등위면)에 수직." 세 번째 성질은 특히 중요하다. 등고선 위에서는 $f$값이 변하지 않으므로, 등고선 방향의 방향도함수는 0이다. 따라서 $\nabla f$는 등고선과 직교할 수밖에 없다. 산의 등고선 지도를 떠올려 보라 — 등고선에 수직인 방향이 가장 가파른 방향이라는 것을, 등산 경험이 있다면 직감적으로 알 것이다.

2-3. 다중적분 — "면적에서 부피로, 부피에서 그 너머로"

2단계에서 정적분 ${\int }_a^{b}f(x)dx$는 "높이 $f(x)$인 무한히 얇은 직사각형을 $[a,b]$에서 모두 더한 것"이었다. 이중적분은 이 아이디어를 2차원으로 확장한다: $${\iint }_{D}f(x,y)dA$$ 영역 $D$ 위에서, 높이 $f(x,y)$인 무한히 작은 기둥들을 전부 더하는 것이다. 기하학적으로 $f(x,y)\ge 0$일 때, 이것은 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부피를 뜻한다.

이중적분을 실제로 계산할 때는 **반복적분(iterated integral)**으로 바꾼다. 여기서 등장하는 것이 **푸비니 정리(Fubini's theorem)**다. 이 정리는 "$f$가 연속이면 적분 순서를 바꿔도 결과가 같다"고 보장한다: $${\int }_a^b{\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dydx={\int }_c^d{\int }_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dxdy$$ 이것이 왜 중요한가? 순서를 바꾸면 한쪽은 악몽 같은 적분이 되고, 다른 쪽은 깔끔하게 풀리는 경우가 허다하기 때문이다. 이것이 바로 눈치밥 스킬 "적분 순서 바꿔서 쉬운 것 먼저"의 정체다. 예를 들어 ${\int }_0^1{\int }_x^1{e}^{y^2}dydx$를 그대로 풀려고 하면 $e^{y^2}$의 부정적분이 초등함수로 존재하지 않아 막힌다. 그런데 적분 순서를 바꾸면 ${\int }_0^1{\int }_0^y{e}^{y^2}dxdy={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}dy$가 되어 치환 한 번이면 끝난다. 스스로 왜 그런지 적분 영역을 $xy$-평면에 그려보라 — 순서를 바꿀 때 적분 한계가 어떻게 달라지는지 눈으로 확인하는 것이 핵심이다.

삼중적분은 한 차원 더 올린 것이다. ${\iiint }_{V}f(x,y,z)dV$는 3차원 영역 $V$에서 함수값을 모두 합산한다. 질량, 관성모멘트, 전하량 등을 구할 때 쓴다.

2-4. 좌표변환과 야코비안 — "대칭성을 이용하라"

원판 위에서 이중적분을 해야 하는데 직교좌표 $(x,y)$로 하면 적분 한계가 $\sqrt{r^2-x^2}$ 같은 괴물이 된다. 이때 극좌표(polar coordinates) $(r,\theta )$로 바꾸면 적분 한계가 상수로 깔끔해진다. 이것이 눈치밥 스킬 "원통/구 대칭이면 좌표 변환"의 핵심이다.

좌표를 바꿀 때 $dA$나 $dV$도 같이 바뀌어야 한다. 이 변환 비율을 알려주는 것이 **야코비안(Jacobian)**이다. $(x,y)\to (u,v)$ 변환에서: $$dA=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$ 야코비안 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$는 편미분으로 이루어진 $2\times 2$ 행렬의 행렬식(determinant)이다: $$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$$ 극좌표의 경우 $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$이므로 야코비안을 계산하면 $r$이 나온다. 따라서 $dA=rdrd\theta$이다. 마찬가지로 구면좌표에서는 $dV=r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$, 원통좌표에서는 $dV=rdrd\theta dz$가 된다.

[노트 기록] 세 가지 좌표계의 $dA$ 또는 $dV$를 반드시 적어두자. "직교: $dxdydz$ / 극좌표: $rdrd\theta$ / 원통: $rdrd\theta dz$ / 구면: $r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$." 이것은 외우는 게 아니라 야코비안을 한 번씩 직접 계산해보면 자연스럽게 체화된다.

좌표계 선택의 판단 기준을 정리하면 이렇다. 적분 영역이나 피적분함수에 $x^2+y^2$가 보이면 극좌표(또는 원통좌표), $x^2+y^2+z^2$가 보이면 구면좌표를 쓴다. 기둥 모양 영역이면 원통좌표, 공 모양이면 구면좌표다. 이 판단을 3초 안에 내릴 수 있어야 한다.

2-5. 라그랑주 승수법 — "제약 조건 아래에서 최적을 찾아라"

고등학교 수학에서 "함수의 최댓값을 구하라"는 문제를 많이 풀어봤을 것이다. $f^{\prime }(x)=0$인 점을 찾으면 됐다. 그런데 만약 조건이 붙는다면? "원 $x^2+y^2=1$ 위에서 $f(x,y)=x+2y$의 최댓값은?" 같은 문제 말이다. $x$와 $y$를 마음대로 움직일 수 없고, 반드시 원 위에 있어야 한다는 제약(constraint)이 걸려 있다.

**라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)**은 이런 제약 최적화(constrained optimization) 문제를 우아하게 푸는 방법이다. 핵심 아이디어는 놀라울 정도로 기하학적이다: 최적점에서 $f$의 경도와 제약조건 $g$의 경도는 평행해야 한다. 왜 그런지 생각해 보자. 만약 $\nabla f$가 $\nabla g$와 평행하지 않다면, $\nabla f$에는 제약 곡선(등고선 $g=c$)을 따라가는 성분이 남아 있다. 그 방향으로 조금 움직이면 $f$값이 더 커지거나 작아진다. 즉, 아직 최적이 아니라는 뜻이다. 반대로 $\nabla f$가 $\nabla g$에 완전히 평행하면, 제약 곡선 위 어느 방향으로 움직여도 $f$는 (1차 근사에서) 변하지 않는다 — 이것이 극값 조건이다.

수식으로 쓰면 $\nabla f=\lambda \nabla g$이고, 여기서 $\lambda$가 **라그랑주 승수(Lagrange multiplier)**다. 제약 조건 $g(x,y)=c$와 합쳐서 연립방정식을 풀면 된다: $$\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y},g(x,y)=c$$ 변수 3개($x,y,\lambda$), 방정식 3개 — 원리적으로 풀 수 있다.

위의 예시로 돌아가면, $f=x+2y$, $g=x^2+y^2=1$이다. $\nabla f=(1,2)$, $\nabla g=(2x,2y)$이므로 $1=2\lambda x$, $2=2\lambda y$, $x^2+y^2=1$을 풀면 된다. 첫 두 식에서 $x=\frac{1}{2\lambda }$, $y=\frac{1}{\lambda }$를 얻고, 세 번째 식에 대입하면 $\frac{1}{4{\lambda }^2}+\frac{1}{{\lambda }^2}=1$, 즉 $\frac{5}{4{\lambda }^2}=1$, ${\lambda }^2=\frac{5}{4}$, $\lambda =\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$이다. 각 $\lambda$에 대해 $(x,y)$를 구하고 $f$값을 비교하면, 최댓값은 $\sqrt{5}$, 최솟값은 $-\sqrt{5}$임을 확인할 수 있다.

실전에서 라그랑주 승수법의 위력은 제약 조건이 여러 개일 때 더욱 빛난다. 경제학에서 예산 제약 아래 효용 극대화, 공학에서 무게 제한 아래 강도 최적화 등이 전부 이 프레임워크에 들어간다. David G. Luenberger의 Optimization by Vector Space Methods에서는 라그랑주 승수를 "제약의 가격(shadow price)"이라고 해석한다 — $\lambda$의 값은 "제약을 한 단위 완화하면 목적함수가 얼마나 개선되는가"를 알려준다.

2-6. 편미분방정식(PDE) 입문 — "시간과 공간이 동시에 변한다"

3단계에서 ODE $\frac{dy}{dt}=ky$를 풀었을 때, 독립변수는 시간 $t$ 하나뿐이었다. 그런데 막대 하나를 불에 데웠을 때 열이 퍼지는 걸 기술하려면, 온도 $u$가 **위치 $x$**와 시간 $t$ 두 변수에 동시 의존해야 한다. 이렇게 편미분이 포함된 미분방정식이 PDE다.

가장 중요한 PDE 세 가지를 소개한다. 각각은 서로 다른 물리 현상을 대표한다:

열방정식(Heat equation): $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$. 열이 퍼지는 현상(확산)을 기술한다. $\alpha$는 **열확산계수(thermal diffusivity)**로, 재료가 열을 얼마나 잘 전달하는지를 나타낸다. 오른쪽의 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$는 "온도 분포의 볼록함"인데, 주변보다 차가운 곳(위로 볼록)은 따뜻해지고 주변보다 뜨거운 곳(아래로 볼록)은 식는다는 직관과 정확히 맞아떨어진다. 2단계에서 이계도함수의 볼록/오목 판정을 배웠던 것을 기억하는가? 그것이 여기서 물리적 의미를 갖게 되는 것이다.

파동방정식(Wave equation): $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$. 줄을 튕겼을 때 파동이 전파되는 현상이다. $c$는 파동의 전파 속도다. 열방정식과의 결정적 차이는 시간 미분의 차수다. 열방정식은 1차($\frac{\partial u}{\partial t}$), 파동방정식은 2차($\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$)다. 3단계에서 ODE의 차수가 해의 성격을 결정했듯이, PDE에서도 마찬가지다. 1차 시간 미분은 에너지가 소산(dissipation)되는 현상, 2차 시간 미분은 에너지가 보존되면서 진동하는 현상을 기술한다.

라플라스 방정식(Laplace's equation): $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$. 시간에 의존하지 않는 **정상 상태(steady state)**를 기술한다. 열방정식에서 시간이 충분히 지나 온도 분포가 더 이상 변하지 않으면($\frac{\partial u}{\partial t}=0$), 열방정식이 라플라스 방정식으로 환원된다. 이 방정식의 해를 **조화함수(harmonic function)**라 부르며, 전기장, 중력장, 유체 흐름 등 수많은 물리 현상의 정상 상태를 기술한다. 간결하게 ${\nabla }^{2}u=0$이라고도 쓰는데, 여기서 ${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$는 **라플라시안(Laplacian)**이라 불리는 연산자다.

[노트 기록] 세 PDE를 나란히 적고, 각각의 물리적 의미와 시간 미분 차수를 비교 정리하라. "열: 1차 시간, 확산(에너지 소산) / 파동: 2차 시간, 진동(에너지 보존) / 라플라스: 시간 없음, 정상 상태."

2-7. 변수분리법 — "PDE를 ODE 여러 개로 쪼개라"

PDE를 처음 보면 "변수가 두 개인 미분방정식을 어떻게 풀지?"라는 공포감이 밀려온다. 그런데 3단계에서 ODE를 잘 푸는 법을 배웠으니, PDE를 ODE들로 분해할 수 있다면 이미 아는 방법으로 풀 수 있지 않겠는가? 이것이 **변수분리법(separation of variables)**의 발상이다.

핵심 가정은 해를 $u(x,t)=X(x)\cdot T(t)$로 놓는 것이다. 즉, $x$에만 의존하는 부분과 $t$에만 의존하는 부분의 곱으로 표현할 수 있다고 가정한다. 이 가정이 항상 통하는 건 아니지만, 놀라울 정도로 많은 물리 문제에서 통한다. 눈치밥 스킬 "PDE 보면 변수분리 되나? 먼저 체크"가 바로 이것이다.

열방정식 $u_t=\alpha u_{xx}$에 $u=X(x)T(t)$를 대입하면: $$X(x)T^{\prime }(t)=\alpha X^{\prime \prime }(x)T(t)$$ 양변을 $\alpha X(x)T(t)$로 나누면: $$\frac{T^{\prime }(t)}{\alpha T(t)}=\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}$$ 왼쪽은 $t$만의 함수, 오른쪽은 $x$만의 함수다. $x$와 $t$는 서로 독립이므로, 이 두 함수가 항상 같으려면 둘 다 상수여야 한다. 이 상수를 $-\lambda$라 쓰면(물리적 이유로 음수를 택한다), 두 개의 ODE가 탄생한다: $$X^{\prime \prime }+\lambda X=0\text{(공간 ODE)}$$ $$T^{\prime }+\alpha \lambda T=0\text{(시간 ODE)}$$ 공간 ODE는 3단계에서 풀었던 2차 선형 ODE이고, 시간 ODE는 지수 감쇠형 1차 ODE다. **경계조건(boundary conditions)**에 따라 $\lambda$값이 결정되는데, 양 끝이 고정된 막대의 경우 ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2$으로 이산적인 값만 허용된다. 이렇게 얻어진 각각의 해 $u_n(x,t)=\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi /L{)}^{2}t}$를 무한히 더한(중첩한) 것이 일반해다: $$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{B}_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi /L{)}^{2}t}$$ 계수 $B_n$은 초기조건 $u(x,0)=f(x)$에서 결정된다. 이 과정에서 등장하는 것이 **푸리에 급수(Fourier series)**다.

2-8. 푸리에 급수 기초 — "어떤 함수든 사인과 코사인의 합으로"

3단계에서 테일러 급수를 배웠다. 함수를 $x^n$들의 합으로 표현했다. 푸리에 급수는 발상이 다르다. 함수를 $\sin (nx)$와 $\cos (nx)$들의 합으로 표현한다: $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L}\right)$$ 계수는 다음과 같이 구한다: $$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx,b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$$ 테일러 급수가 "한 점 근처에서의 근사"였다면, 푸리에 급수는 **"구간 전체에서의 근사"**다. 이 차이가 결정적이다. PDE에서 초기조건은 한 점이 아니라 구간 전체에서 주어지므로, 테일러가 아닌 푸리에가 자연스러운 도구인 것이다.

Joseph Fourier가 1807년 프랑스 학술원에 열전도 논문을 제출했을 때, "임의의 함수를 삼각함수의 합으로 쓸 수 있다"는 주장은 당대 수학자들(특히 라그랑주!)의 격렬한 반발을 샀다. 하지만 결국 이 아이디어는 옳았고, 현대 신호 처리, 이미지 압축(JPEG), 음성 인식의 수학적 토대가 되었다. Elias Stein과 Rami Shakarchi의 Fourier Analysis: An Introduction은 이 역사와 이론을 아름답게 풀어낸 교과서다.

[노트 기록] 변수분리법의 전체 흐름을 도식화하자. "PDE → $u=X(x)T(t)$ 대입 → 변수 분리 → 상수 = $-\lambda$ → 두 ODE → 경계조건으로 ${\lambda }_n$ 결정 → 개별 해 중첩 → 초기조건으로 $B_n$ 결정 (푸리에 계수)." 이 흐름을 외울 때까지 반복하라. PDE 문제의 80%는 이 레시피를 따른다.

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Part 3. 테크니컬 디테일 — 실전에서 막히는 포인트 공략

편미분의 순서와 클레로 정리: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$와 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$는 같을까? **클레로 정리(Clairaut's theorem)**에 의하면, 이차 편도함수가 연속이면 순서를 바꿔도 같다. 실전에서 이것이 중요한 이유는 완전미분방정식의 판정과 계산에서 교차 편미분을 사용하기 때문이다.

적분 순서 전환 기법: 이중적분에서 순서를 바꾸려면 반드시 적분 영역을 그려야 한다. (1) 원래 적분 한계로부터 영역 $D$를 $xy$-평면에 스케치한다. (2) 새로운 순서에 맞게 $D$를 다시 기술한다. (3) 새 한계로 적분을 다시 쓴다. 이 과정에서 실수가 잦으니, 반드시 그림을 그려라.

야코비안 계산 팁: $3\times 3$ 행렬식을 계산할 때 코팩터 전개(cofactor expansion)를 쓴다. 구면좌표의 야코비안 $r^2\sin \varphi$는 직접 계산하면 꽤 번거롭지만, 한 번만 해두면 평생 쓴다. 더 고급 방법으로는, 기하학적으로 "$dr$ 방향 길이 = $dr$, $d\theta$ 방향 길이 = $r\sin \varphi d\theta$, $d\varphi$ 방향 길이 = $rd\varphi$"이므로 부피 요소가 $r^2\sin \varphi drd\theta d\varphi$라고 이해할 수 있다.

라그랑주 승수법에서 $\lambda$의 부호: $\lambda >0$이면 $\nabla f$와 $\nabla g$가 같은 방향, $\lambda <0$이면 반대 방향이다. 최댓값과 최솟값이 각각 다른 부호의 $\lambda$에 대응하는 경우가 많다. $\lambda$의 절대값은 "제약의 가격" — 제약을 한 단위 풀어주면 목적함수가 $|\lambda |$만큼 개선된다.

변수분리 가능성 판단: 모든 PDE가 변수분리 되는 것은 아니다. 변수분리가 되려면 (1) PDE가 선형이어야 하고, (2) 경계조건이 **균질(homogeneous)**이어야 하며, (3) 영역의 형태가 좌표계와 맞아야 한다. 비선형 PDE(예: Navier-Stokes)는 변수분리가 안 되고, 이것이 유체역학이 그토록 어려운 이유 중 하나다.

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Part 4. 프로젝트 — 예제 문제 (정답 없음, 약 40분 소요)

아래 문제들을 순서대로 풀어라. 각 문제는 앞서 배운 개념을 다양한 각도에서 활용한다. 모든 풀이 과정을 노트에 적고, 중간 계산도 생략하지 마라. 40분 타이머를 켜고 시작하자.

A. 편미분과 경도 (약 8분)

A1. $f(x,y)=e^x\sin y+x^2\ln y$ 에 대해 $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$를 모두 구하고, 클레로 정리가 성립하는지 확인하라.

A2. $g(x,y,z)=x^{2}y{z}^3-\sin (xyz)$에 대해 경도 $\nabla g$를 구하고, 점 $(1,\pi ,0)$에서의 경도 벡터를 계산하라.

A3. $h(x,y)=x^2+xy+y^2$에 대해, 점 $(1,1)$에서 벡터 $\mathbf{v}=(3,-4)$ 방향으로의 방향도함수를 구하라. ($\mathbf{v}$는 단위벡터가 아님에 주의하라.)

A4. $f(x,y)=x^3-3xy+y^3$의 등고선 $f(x,y)=1$ 위의 점 $(1,1)$에서, 등고선에 수직인 방향(즉, $\nabla f$의 방향)을 구하고, 이 방향이 등고선의 접선과 실제로 수직인지 전미분을 이용해 검증하라.

B. 다중적분과 좌표변환 (약 12분)

B1. ${\int }_0^2{\int }_{x^2}^4\sqrt{y}\cos (y^{3/2})dydx$를 그대로 계산하기 어렵다. 적분 영역을 $xy$-평면에 스케치한 뒤, 적분 순서를 바꿔서 계산하라.

B2. 영역 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$ (반지름 2인 상반원) 위에서 ${\iint }_D(x^2+y^2)dA$를 극좌표로 변환하여 계산하라.

B3. 구 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ 내부에서 ${\iiint }_V{z}^{2}dV$를 구면좌표로 계산하라. ($z=r\cos \varphi$ 임을 기억하라.)

B4. 변환 $u=x+y$, $v=x-y$일 때 야코비안 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$를 구하라. 이 변환을 이용해 ${\iint }_D{e}^{(x+y)/(x-y)}dA$를 계산하라. 단, $D$는 $x+y=1$, $x+y=3$, $x-y=1$, $x-y=-1$로 둘러싸인 영역이다.

C. 라그랑주 승수법 (약 8분)

C1. 타원 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 위에서 $f(x,y)=xy$의 최댓값과 최솟값을 라그랑주 승수법으로 구하라.

C2. 제약 조건 $x+y+z=12$ 아래에서 $f(x,y,z)=xyz$를 최대화하라. (힌트: 대칭성을 활용하면 후보를 즉시 좁힐 수 있다.)

C3. 원점에서 평면 $2x+3y+z=14$까지의 최단 거리를 라그랑주 승수법으로 구하라. ($f=x^2+y^2+z^2$를 최소화, 제약 $g=2x+3y+z=14$.)

D. PDE와 변수분리법 (약 12분)

D1. 길이 $L=\pi$인 막대의 열전도 문제: $u_t=u_{xx}$, 경계조건 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$, 초기조건 $u(x,0)=\sin x+3\sin 2x$. 변수분리법을 적용하여 $u(x,t)$를 구하라. (힌트: 초기조건이 이미 사인 급수로 주어져 있으므로 푸리에 계수를 따로 계산할 필요가 없다.)

D2. 파동방정식 $u_{tt}=4u_{xx}$, $0<x<\pi$, 경계조건 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$에 대해 $u=X(x)T(t)$로 놓고 변수분리를 수행하여 $X$와 $T$ 각각이 만족하는 ODE를 유도하라. ($c^2=4$임에 유의.)

D3. 라플라스 방정식 $u_{xx}+u_{yy}=0$이 정사각형 $0\le x\le \pi$, $0\le y\le \pi$ 위에서 주어져 있다. 경계조건이 $u(0,y)=0$, $u(\pi ,y)=0$, $u(x,0)=0$, $u(x,\pi )=\sin 3x$일 때, $u=X(x)Y(y)$로 놓고 변수분리를 수행하라. $X$와 $Y$가 만족하는 ODE를 각각 쓰고, 경계조건으로부터 $X$의 해를 결정하라. (주어진 경계조건에서 $n$이 몇인지도 판단하라.)

D4. 함수 $f(x)=x$ ($0<x<\pi$)를 사인 급수 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (nx)$로 전개하라. 계수 $b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin (nx)dx$를 부분적분(2단계 복습!)으로 계산하라.

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Part 5. 평가 기준

문제를 다 풀었으면, 아래 기준으로 스스로 채점해 보라. 각 영역의 배점과 핵심 체크포인트를 명시한다.

영역	배점	핵심 체크포인트
편미분/경도	20점	편미분 계산 정확성, $\nabla f$ 방향의 의미 이해, 방향도함수에서 단위벡터 변환
다중적분/좌표변환	25점	적분 순서 전환 시 영역 스케치 정확성, 야코비안 계산, 좌표계 선택 판단의 적절성
라그랑주 승수법	20점	$\nabla f=\lambda \nabla g$ 연립방정식 세우기, $\lambda$의 물리적 해석, 후보점에서 최대/최소 판정
PDE/변수분리	20점	변수분리 후 ODE 유도 과정, 경계조건 적용, 푸리에 계수 결정
전략적 선택	15점	좌표계를 3초 내 결정했는가, 적분 순서를 전략적으로 택했는가, PDE를 보고 변수분리 가능 여부를 즉시 판단했는가

총 100점 만점이며, 80점 이상이면 학습 목표 달성, 90점 이상이면 5단계 진입 준비 완료로 판단한다.

풀이가 끝나면 풀이 전체를 보내줘라 — 각 문제에 대한 피드백과 점수, 그리고 다음 단계를 위해 보강해야 할 부분을 상세히 알려주겠다.