2단계: 적분의 세계 — 쪼개고, 쌓고, 되돌리는 수학

I. 이론적 기초 — 적분이 태어난 이유

1단계에서 우리는 미분을 배웠다. 어떤 함수 f(x)가 주어졌을 때, 그것이 순간적으로 얼마나 빠르게 변하는지를 구하는 작업이었다. 속도를 알면 '지금 이 순간 얼마나 빠른가'를 알 수 있었다. 그런데 여기서 자연스러운 질문이 하나 생긴다. 속도를 이미 알고 있다면, 그 속도를 시간에 걸쳐 쌓아 올리면 총 이동 거리가 나오지 않겠는가? 예를 들어 자동차가 시속 60km로 2시간을 달렸다면, 60×2 = 120km를 갔다는 건 초등학생도 안다. 그런데 속도가 매 순간 바뀐다면 어떻게 할까? 처음엔 시속 30km였다가, 1시간 뒤엔 시속 80km가 되고, 중간중간 계속 변한다면? 단순 곱셈으로는 안 된다. 바로 이 문제를 해결하기 위해 적분이 태어났다.

적분의 핵심 아이디어는 놀랍도록 단순하다. "잘게 쪼개서 다 더한다." 시간을 아주 짧은 구간 Δt로 나누면, 각 구간에서는 속도가 거의 일정하다고 볼 수 있다. 그러면 각 구간의 이동 거리는 v(tₖ)·Δt이고, 이것들을 전부 합하면 총 이동 거리의 근삿값이 된다. Δt를 0에 가깝게 보내면? 근삿값이 정확한 값으로 수렴한다. 이것이 바로 **리만 합(Riemann Sum)**이고, 그 극한이 **정적분(Definite Integral)**이다. 기호로 쓰면 ∫ₐᵇ v(t) dt인데, 이 기호 ∫는 라틴어 'Summa(합)'의 S를 길게 늘인 것이다. 라이프니츠(Leibniz)가 1675년에 처음 사용했다. 미분에서 dx를 '무한히 작은 조각'으로 다뤘던 것처럼, 적분에서 dt는 '무한히 짧은 시간 조각'을 의미하고, 그것을 전부 더하는(∫) 연산이 적분이다.

여기서 잠깐, 1단계의 기억을 환기하자. 미분은 **f(x) → f'(x)**로, 함수에서 변화율을 뽑아내는 작업이었다. 적분은 그 역방향: 변화율 f'(x)가 주어졌을 때 원래 함수 f(x)를 복원하는 작업이다. 이것을 **역미분(Antidifferentiation)**이라 부른다. 그러니까 적분에는 두 가지 얼굴이 있다. 하나는 "넓이를 구하는 것"(리만 합의 극한, 정적분), 다른 하나는 "미분을 되돌리는 것"(역미분, 부정적분). 이 두 얼굴이 사실은 같은 것이라는 놀라운 사실이 바로 **미적분의 근본 정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)**이며, 이것은 뒤에서 증명할 것이다.

[노트 기록] 적분의 두 가지 의미를 적어두자: ① 넓이/누적량 (정적분) ② 미분의 역과정 (부정적분). 그리고 "잘게 쪼개서 다 더한다"는 핵심 아이디어를 자기 말로 정리하라.

적분이 왜 중요한지 실감하기 위해 몇 가지 예를 생각해 보자. 물리학에서 힘 F(x)를 거리에 대해 적분하면 **일(Work)**이 된다: W = ∫ F dx. 경제학에서 한계비용(Marginal Cost) 함수를 생산량에 대해 적분하면 총비용이 나온다. 확률론에서 확률밀도함수를 적분하면 확률이 된다. 즉, 미분이 '변화의 순간을 포착하는 현미경'이라면, 적분은 '변화를 시간/공간에 걸쳐 축적하는 망원경'이다. 둘은 동전의 양면이며, 하나 없이는 다른 하나도 무력하다.

II. 기본 적분 공식 — 미분표를 뒤집어라

적분은 미분의 역과정이므로, 1단계에서 외운 미분 공식을 뒤집으면 적분 공식이 된다. 이것이 핵심 원리다. 예를 들어, d/dx [x³] = 3x²이므로, ∫ 3x² dx = x³ + C가 된다. 여기서 C는 **적분 상수(Constant of Integration)**인데, 왜 붙느냐면, 상수를 미분하면 0이 되기 때문에 역미분할 때 원래 어떤 상수가 있었는지 알 수 없기 때문이다. f(x) = x³ + 5든 x³ − 100이든 미분하면 똑같이 3x²이 나오므로, 부정적분에서는 반드시 +C를 붙여야 한다.

이제 핵심 공식들을 체계적으로 정리하겠다. 하나하나가 미분 공식의 거울상이라는 것을 확인하면서 읽어라.

다항식: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (단, n ≠ −1). 미분에서 d/dx [xⁿ⁺¹/(n+1)] = xⁿ이었으므로 당연하다. n = −1인 경우는 특별한데, ∫ x⁻¹ dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C이다. 왜 절댓값이 붙느냐면, ln은 양수에서만 정의되는데 1/x는 음수에서도 존재하므로, 음수 영역까지 커버하기 위해 |x|를 쓴다.

지수함수: ∫ eˣ dx = eˣ + C. 이것은 eˣ의 미분이 자기 자신이라는 성질의 직접적 결과다. 더 일반적으로 ∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C (a > 0, a ≠ 1)이다. 미분에서 d/dx[aˣ] = aˣ ln a였으므로, ln a로 나누면 역미분이 된다.

삼각함수: ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C. 미분에서 (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x였다. 부호에 주의하라. ∫ sec²x dx = tan x + C (왜냐하면 (tan x)' = sec²x), ∫ csc²x dx = −cot x + C, ∫ sec x tan x dx = sec x + C, ∫ csc x cot x dx = −csc x + C. 이 모든 것은 미분표를 뒤집은 것일 뿐이다.

역삼각함수 — 이건 새롭다: ∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin x + C. 왜냐하면 d/dx[arcsin x] = 1/√(1−x²)이었으므로. 비슷하게 ∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C. 이 두 공식은 나중에 삼각치환과 깊이 연결되니 반드시 기억하라.

[노트 기록] 위의 모든 기본 적분 공식을 한 페이지에 정리하되, 각 공식 옆에 "이것은 ○○의 미분을 뒤집은 것"이라고 미분 대응 공식을 같이 적어라. 단순 암기가 아니라 미분과의 연결을 의식하면서 외워야 진짜 실력이 된다.

한 가지 중요한 감각을 키우자. 적분 결과를 보고 **"대충 이런 형태가 나오겠다"**고 예측하는 능력이다. 예를 들어 ∫ x⁵ dx를 보면, "다항식이니까 차수가 하나 올라가서 x⁶ 형태가 나오겠구나, 계수는 1/6이겠지"라고 즉시 예측할 수 있어야 한다. ∫ e³ˣ dx를 보면, "지수함수니까 e³ˣ 형태가 나올 텐데, 체인룰 때문에 3으로 나눠야 하니까 e³ˣ/3이겠다"라고 예측한다. 이런 예측 → 계산 → 검산(미분해서 확인) 루프를 습관으로 만들어라. 1단계에서 배운 "답 냄새 맡기"의 적분 버전이다.

III. 적분 테크닉 — 무기고를 채워라

기본 공식만으로 풀 수 있는 적분은 세상의 극히 일부에 불과하다. 대부분의 적분은 테크닉을 써서 기본 공식으로 환원해야 한다. 여기서 네 가지 핵심 무기를 배운다: 치환적분, 부분적분, 부분분수 분해, 삼각치환.

1. 치환적분 (Substitution) — 체인룰의 역과정

1단계에서 합성함수의 미분, 즉 체인룰을 배웠다. d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x). 이것을 뒤집으면 ∫ f'(g(x))·g'(x) dx = f(g(x)) + C가 된다. 치환적분은 이 원리를 체계적으로 적용하는 방법이다. 핵심은 피적분함수 안에서 '안쪽 함수'와 그 미분이 동시에 보이는 패턴을 인식하는 것이다.

예를 들어 ∫ 2x·cos(x²) dx를 보자. x²을 u로 놓으면 du = 2x dx이므로, 원래 적분은 ∫ cos u · du = sin u + C = sin(x²) + C가 된다. 여기서 2x dx가 정확히 du와 일치했기에 깔끔하게 치환되었다. 그런데 항상 이렇게 딱 맞아떨어지지는 않는다. ∫ x·cos(x²) dx처럼 2가 빠져 있으면? du = 2x dx이므로 x dx = du/2로 처리하면 된다: ∫ cos u · (du/2) = sin(x²)/2 + C.

치환적분의 패턴 인식 감각을 키우려면, 피적분함수를 볼 때 항상 이렇게 자문하라: "이 안에 어떤 덩어리(g(x))가 있고, 그 덩어리의 미분(g'(x))이 바깥에 곱해져 있는가?" 이 질문에 "예"라고 답할 수 있으면 치환적분이다.

눈치밥 스킬: 지수 위에 복잡한 식이 있으면 (예: e^(3x+1)) 그 지수를 u로 놓는 것이 거의 항상 맞다. 삼각함수 안에 복잡한 식이 있으면 (예: sin(x³)) 그 안쪽을 u로 놓되, 바깥에 x²이 곱해져 있는지 확인하라.

2. 부분적분 (Integration by Parts) — 곱의 미분 법칙의 역과정

두 함수의 곱이 들어 있는 적분, 예를 들어 ∫ x·eˣ dx 같은 것은 치환으로 잘 안 된다. 왜냐하면 x를 u로 놓든 eˣ를 u로 놓든, 나머지 부분이 깔끔하게 du로 정리되지 않기 때문이다. 이럴 때 쓰는 무기가 부분적분이다.

곱의 미분 법칙 d/dx[u·v] = u'v + uv'을 적분하면 uv = ∫ u'v dx + ∫ uv' dx, 즉 ∫ u dv = uv − ∫ v du가 된다. 이것이 부분적분 공식이다. 핵심은 원래 적분 ∫ u dv보다 새로 생기는 적분 ∫ v du가 더 쉬워야 한다는 것이다. 그래서 u와 dv를 어떻게 선택하느냐가 결정적이다.

여기서 LIATE 규칙이 등장한다. u를 선택할 때 다음 우선순위를 따르라: L(Logarithm, 로그) > I(Inverse trig, 역삼각) > A(Algebraic, 다항식) > T(Trigonometric, 삼각) > E(Exponential, 지수). 이 순서에서 앞에 있는 것을 u로 놓으면 대부분 잘 된다. 왜냐하면 로그나 역삼각함수는 미분하면 더 단순해지고(u로 놓으면 du가 간단), 지수나 삼각함수는 적분해도 복잡해지지 않기(dv로 놓으면 v가 구해짐) 때문이다.

∫ x·eˣ dx를 풀어보자. LIATE에 따르면 x(다항식, A)를 u로, eˣ dx(지수, E)를 dv로 놓는다. 그러면 du = dx, v = eˣ. 공식에 대입하면 x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C. 검산하자: [eˣ(x−1)]'= eˣ(x−1) + eˣ·1 = eˣ·x − eˣ + eˣ = x·eˣ. 맞다! 이렇게 적분 결과를 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인하는 검산은 절대 생략하지 마라.

특별한 경우가 있다. ∫ eˣ sin x dx처럼 부분적분을 두 번 하면 원래 적분이 다시 나타나는 경우가 있다. 이때 I = ∫ eˣ sin x dx로 놓고, 부분적분 두 번 후 나오는 식에서 I를 이항하여 풀면 된다. 이것을 **순환 부분적분(tabular/circular integration by parts)**이라 하며, 처음 보면 마술 같지만 원리는 단순하다.

[노트 기록] LIATE 순서를 적고, ∫ x·eˣ dx의 풀이 과정을 처음부터 끝까지, 검산 포함하여 자기 손으로 써보라.

3. 부분분수 분해 (Partial Fraction Decomposition) — 유리함수의 해체

**유리함수(Rational Function)**란 다항식/다항식 형태의 함수다. 예를 들어 (2x+3)/((x−1)(x+2)) 같은 것이다. 이런 함수를 직접 적분하려면 매우 곤란한데, 부분분수 분해를 쓰면 간단한 조각들의 합으로 분해할 수 있고, 각 조각은 기본 공식으로 적분된다.

원리는 이렇다. (2x+3)/((x−1)(x+2))를 A/(x−1) + B/(x+2)로 쪼갤 수 있다고 가정한다. 양변에 (x−1)(x+2)를 곱하면 2x+3 = A(x+2) + B(x−1)이 되고, x = 1을 대입하면 5 = 3A → A = 5/3, x = −2를 대입하면 −1 = −3B → B = 1/3이 된다. 이제 ∫ [5/3·1/(x−1) + 1/3·1/(x+2)] dx = 5/3·ln|x−1| + 1/3·ln|x+2| + C로 깔끔하게 풀린다.

눈치밥 스킬: "다항식 / 다항식" 형태를 보면, 반사적으로 부분분수 먼저 떠올려라. 단, 분자의 차수가 분모의 차수 이상이면 먼저 **다항식 나눗셈(Long Division)**을 해서 차수를 낮춘 후 부분분수를 적용해야 한다. 분모에 인수분해가 안 되는 이차식 (ax²+bx+c)가 있으면 분자에 (Ax+B) 형태를 놓아야 한다는 것도 기억하라.

분모에 반복근이 있는 경우도 있다. 예를 들어 1/(x−1)²(x+2)는 A/(x−1) + B/(x−1)² + C/(x+2)로 분해해야 한다. (x−1)이 두 번 나오면 (x−1)의 1제곱, 2제곱 각각에 미지수를 배정하는 것이 규칙이다.

4. 삼각치환 (Trigonometric Substitution) — 루트를 제거하는 기하학적 트릭

피적분함수에 √(a²−x²), √(a²+x²), 또는 √(x²−a²) 형태의 루트가 있을 때, 삼각치환이 가장 강력한 무기다. 왜 삼각함수가 등장하느냐면, 피타고라스 항등식 sin²θ + cos²θ = 1을 이용하면 루트 안의 제곱합/차를 완전제곱으로 바꿀 수 있기 때문이다.

패턴을 정리하면 이렇다. √(a²−x²)이 보이면 x = a sin θ로 놓는다. 그러면 √(a²−a²sin²θ) = a cos θ가 되어 루트가 사라진다. √(a²+x²)이 보이면 x = a tan θ로 놓는다. 그러면 √(a²+a²tan²θ) = a sec θ. √(x²−a²)이 보이면 x = a sec θ로 놓는다. 그러면 √(a²sec²θ−a²) = a tan θ.

눈치밥 스킬: "분모에 루트가 있다 → 삼각치환 냄새." 이것을 반사적으로 떠올려라. 물론 루트 없이도 1/(a²+x²) 같은 형태에서 arctan이 바로 나오는 경우도 있으니, 삼각치환 전에 기본 공식부터 확인하는 습관도 중요하다.

구체적 예를 하나 보자. ∫ 1/√(4−x²) dx. 여기서 a = 2이고 √(a²−x²) 패턴이다. x = 2 sin θ로 놓으면 dx = 2 cos θ dθ, √(4−4sin²θ) = 2 cos θ. 적분은 ∫ 2 cos θ / (2 cos θ) dθ = ∫ dθ = θ + C = arcsin(x/2) + C. 기본 공식 ∫ 1/√(a²−x²) dx = arcsin(x/a) + C와 일치한다! 삼각치환은 기본 공식의 유도 과정 그 자체인 것이다.

[노트 기록] 삼각치환 3가지 패턴(√(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²))에 대응하는 치환(sin, tan, sec)을 표로 정리하고, 각각 왜 그렇게 놓는지 피타고라스 항등식으로 설명을 적어라.

IV. 테크닉 선택 전략 — "어떤 무기를 꺼낼까?"

네 가지 무기를 배웠다. 실전에서 가장 중요한 것은 어떤 무기를 써야 할지 3초 안에 판단하는 것이다. 여기 의사결정 트리를 제시한다. 피적분함수를 보자마자 다음 순서로 체크하라.

Step 1. 기본 공식으로 바로 되는가? 예를 들어 ∫ cos x dx, ∫ eˣ dx, ∫ x⁴ dx 같은 것. 된다면 바로 쓴다.

Step 2. 안쪽 함수와 그 미분이 동시에 보이는가? "합성함수 + 안쪽의 미분이 바깥에 곱해져 있다" → 치환적분. 예: ∫ sin(3x)·3 dx, ∫ 2x·e^(x²) dx.

Step 3. 다항식/다항식 형태인가? → 부분분수 (필요하면 다항식 나눗셈 먼저). 예: ∫ (x+1)/((x−2)(x+3)) dx.

Step 4. 두 종류의 함수가 곱해져 있는가? (다항식×지수, 다항식×삼각, 로그×다항식 등) → 부분적분 (LIATE로 u 선택). 예: ∫ x² sin x dx, ∫ ln x dx.

Step 5. 루트 안에 제곱합/차가 있는가? (√(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²)) → 삼각치환. 예: ∫ √(9−x²) dx, ∫ x²/√(x²+4) dx.

Step 6. 위의 어느 것도 안 맞으면? 대수적 조작(인수분해, 완전제곱식 만들기, 분자분모 곱하기 등)으로 형태를 바꾼 후 다시 Step 1부터. 예를 들어 ∫ 1/(x²+4x+8) dx는 분모를 (x+2)²+4로 완전제곱식으로 바꾸면 arctan 형태가 된다.

실전에서는 이 단계들이 겹치는 경우도 있다. 예를 들어 삼각치환 후 부분적분이 필요하거나, 치환 후 부분분수가 필요한 경우. 하나의 적분에 여러 테크닉을 조합하는 것이 진짜 실력이다.

[노트 기록] 위의 의사결정 트리를 플로차트 형태로 그려라. 화살표로 연결하면서, 각 분기점에서 어떤 질문을 하는지, 어떤 테크닉으로 가는지를 시각적으로 정리하라. 이 플로차트를 시험 전에 5초 안에 떠올릴 수 있을 때까지 반복하라.

V. 미적분의 근본 정리 (Fundamental Theorem of Calculus) — 수학 역사상 가장 아름다운 다리

자, 이제 이 단계의 심장부에 왔다. 미적분의 근본 정리(FTC)는 미분과 적분이 서로의 역연산이라는 것을 수학적으로 증명한다. 이것을 최초로 명확히 한 사람은 뉴턴과 라이프니츠(17세기 후반)이며, 현대적으로 엄밀하게 정립한 것은 코시(Cauchy)와 리만(Riemann, 19세기)이다.

FTC 제1부: F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt로 정의하면, F'(x) = f(x)이다.

이것이 말하는 바를 직관적으로 이해하자. F(x)는 a에서 x까지 f(t) 아래의 넓이를 나타낸다. x가 아주 조금 Δx만큼 증가하면, 넓이의 증가량 ΔF ≈ f(x)·Δx이다 (높이 f(x), 폭 Δx인 얇은 직사각형). 따라서 ΔF/Δx ≈ f(x)이고, Δx → 0으로 보내면 **F'(x) = f(x)**가 된다. 즉, "넓이 함수를 미분하면 원래 함수가 돌아온다."

좀 더 엄밀하게 증명하겠다. F(x+h) − F(x) = ∫ₐˣ⁺ʰ f(t) dt − ∫ₐˣ f(t) dt = ∫ₓˣ⁺ʰ f(t) dt. f가 x에서 연속이면, 평균값 정리(Mean Value Theorem for Integrals)에 의해 ∫ₓˣ⁺ʰ f(t) dt = f(c)·h (단, x ≤ c ≤ x+h인 c가 존재). h → 0이면 c → x이고, f의 연속성에 의해 f(c) → f(x). 따라서 lim(h→0) [F(x+h)−F(x)]/h = lim(h→0) f(c) = f(x). 증명 완료. □

FTC 제2부: f가 [a,b]에서 연속이고 F가 f의 역도함수 (F' = f)이면, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

이것은 제1부에서 직접 따라온다. G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt로 정의하면 G'(x) = f(x) (제1부). F'(x) = f(x)이기도 하므로, G(x) = F(x) + C (도함수가 같은 두 함수는 상수 차이). G(a) = ∫ₐᵃ f(t) dt = 0이므로, 0 = F(a) + C, 즉 C = −F(a). 따라서 G(b) = F(b) − F(a). G(b) = ∫ₐᵇ f(t) dt이므로, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). □

이 정리가 왜 "근본"이냐면, 이것이 없으면 정적분을 계산할 때마다 리만 합의 극한을 직접 구해야 하기 때문이다. 무한개의 직사각형을 더하는 극한 계산은 대부분의 경우 불가능에 가깝다. 그런데 FTC 덕분에 역도함수만 찾으면 끝이다. ∫₀¹ x² dx를 구하고 싶으면? x²의 역도함수는 x³/3이므로, 답은 1³/3 − 0³/3 = 1/3. 리만 합 없이 단 한 줄로 끝난다. FTC는 적분 계산의 효율을 무한히 높인 혁명이다.

[노트 기록] FTC 제1부와 제2부의 증명을 처음부터 끝까지 자기 손으로 써보라. 특히 "f의 연속성"이 어디서 사용되었는지, "도함수가 같으면 상수 차이"라는 사실이 어디서 사용되었는지를 표시하라. 이 증명을 보지 않고 재현할 수 있어야 한다.

VI. 이상적분 (Improper Integral) — 무한과의 대결

지금까지의 정적분은 유한한 구간 [a,b]에서 연속인 함수를 다뤘다. 그런데 수학과 물리학에서는 적분 구간이 무한이거나, 피적분함수가 특정 점에서 발산하는 경우가 빈번하다. 이런 적분을 **이상적분(Improper Integral)**이라 한다.

Type 1: 무한 구간. ∫₁^∞ 1/x² dx 같은 것이다. 정의는 극한을 이용한다: ∫₁^∞ 1/x² dx = lim(b→∞) ∫₁ᵇ 1/x² dx = lim(b→∞) [−1/x]₁ᵇ = lim(b→∞) (−1/b + 1) = 1. 극한이 유한한 값으로 존재하므로 이 이상적분은 **수렴(Converge)**한다. 반면 ∫₁^∞ 1/x dx = lim(b→∞) [ln|x|]₁ᵇ = lim(b→∞) ln b = ∞이므로 **발산(Diverge)**한다. 재미있지 않은가? 1/x²과 1/x는 모양이 비슷한데, 하나는 유한한 넓이를 갖고 다른 하나는 무한한 넓이를 가진다. 감쇠 속도의 차이가 수렴/발산을 결정한다.

여기서 유용한 판정법이 있다. p-적분 판정법: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx는 p > 1이면 수렴, p ≤ 1이면 발산한다. 이것은 3단계의 급수 수렴 판정과 직접 연결되니 단단히 기억하라.

Type 2: 피적분함수의 발산. ∫₀¹ 1/√x dx처럼 x = 0에서 피적분함수가 무한대로 발산하는 경우다. ∫₀¹ 1/√x dx = lim(ε→0⁺) ∫_ε¹ x^(−1/2) dx = lim(ε→0⁺) [2√x]_ε¹ = 2 − lim(ε→0⁺) 2√ε = 2. 수렴한다.

수렴 판정 전략: 이상적분의 피적분함수를 직접 역도함수로 구해서 극한을 계산하는 것이 가장 확실하다. 하지만 역도함수를 구할 수 없는 경우, **비교 판정법(Comparison Test)**을 쓴다. 0 ≤ f(x) ≤ g(x)이고 ∫ g(x) dx가 수렴하면 ∫ f(x) dx도 수렴한다(더 작은 것은 당연히 유한). 반대로 f(x) ≥ g(x) ≥ 0이고 ∫ g(x) dx가 발산하면 ∫ f(x) dx도 발산한다.

VII. 대칭성과 계산 단축 — 똑똑하게 일하라

마지막으로 계산량을 반토막 내는 강력한 도구를 배우자. **우함수(Even Function)**는 f(−x) = f(x)를 만족하는 함수다 (y축 대칭). x², cos x 등이 대표적이다. **기함수(Odd Function)**는 f(−x) = −f(x)를 만족한다 (원점 대칭). x³, sin x, tan x 등이다.

핵심 성질: 대칭 구간 [−a, a]에서, 기함수의 적분은 항상 0이다. ∫₋ₐᵃ (기함수) dx = 0. 왜냐하면 왼쪽 절반과 오른쪽 절반이 부호만 반대여서 정확히 상쇄되기 때문이다. 우함수의 적분은 2배: ∫₋ₐᵃ (우함수) dx = 2∫₀ᵃ (우함수) dx.

예를 들어 ∫₋₁¹ (x³ + x⁴) dx를 구한다고 하자. x³은 기함수, x⁴은 우함수이므로, ∫₋₁¹ x³ dx = 0, ∫₋₁¹ x⁴ dx = 2∫₀¹ x⁴ dx = 2·[x⁵/5]₀¹ = 2/5. 답은 0 + 2/5 = 2/5. x³ 부분은 계산할 필요조차 없었다!

주기함수의 성질도 유용하다. f(x)가 주기 T를 갖는 함수이면 (f(x+T) = f(x)), 한 주기에 대한 적분은 시작점에 무관하다: ∫ₐᵃ⁺ᵀ f(x) dx는 a에 상관없이 같은 값이다. 예를 들어 ∫₀²π sin²x dx = ∫₅²π⁺⁵ sin²x dx.

[노트 기록] 우함수/기함수의 정의와 적분 성질을 적고, 다음 함수들이 우함수인지 기함수인지 판별해 보라: x sin x, x² cos x, e^x (힌트: eˣ는 둘 다 아니다. 하지만 eˣ = cosh x + sinh x로 분해하면...).

VIII. 프로젝트 — 실전 드릴

아래 문제들은 정답 없이 제시한다. 40분 정도 걸리는 분량이다. 모든 문제에서 반드시 검산(적분 결과를 미분해서 원래 함수가 나오는지 확인)을 수행하라. 검산까지가 풀이의 일부다.

Part A: 테크닉 즉시 판단 (각 문제에 대해 먼저 "어떤 테크닉을 쓸지"를 적은 후 풀이)

(1) ∫ x·e^(−x²) dx

(2) ∫ x² ln x dx

(3) ∫ (3x+5) / ((x−1)(x+3)) dx

(4) ∫ 1 / √(9−x²) dx

(5) ∫ sin³x · cos²x dx

(6) ∫ x / (x²+2x+5) dx (힌트: 분모를 완전제곱식으로 바꿔라)

(7) ∫ e^x · cos x dx

(8) ∫ (x³+2x) / (x²+1) dx

Part B: 정적분과 대칭성

(9) ∫₋₂² (x³ − 3x) dx (대칭성 이용 가능한가? 어떤 종류의 함수인가?)

(10) ∫₋π^π x² sin x dx (피적분함수는 우함수? 기함수?)

(11) ∫₀² 1/(x−1) dx (이 적분은 뭔가 이상하다. 무엇이 문제인가?)

(12) ∫₁^∞ 1/x^(3/2) dx (수렴하는가? 값은?)

Part C: FTC 적용과 이상적분

(13) F(x) = ∫₁ˣ (1/t) dt로 정의할 때, F'(x)를 구하고, F(1), F(e), F(e²)를 계산하라.

(14) G(x) = ∫₀^(x²) sin t dt일 때, G'(x)를 구하라. (힌트: 체인룰과 FTC 제1부의 결합)

(15) ∫₁^∞ e^(−x) dx는 수렴하는가? 수렴한다면 값은?

(16) ∫₀^∞ x·e^(−x) dx를 구하라. (부분적분 + 이상적분의 결합)

Part D: 종합 — 테크닉 조합

(17) ∫ x² / √(4−x²) dx (삼각치환 후 어떤 추가 처리가 필요한가?)

(18) ∫ 1 / (x²(x+1)) dx (부분분수 → 각 항을 적분)

(19) ∫ ln(x²+1) dx (부분적분, u = ln(x²+1)로 시작)

(20) ∫₀^(π/2) sin⁴x dx (반각 공식을 반복 적용하라. 대칭성도 활용 가능한가?)

IX. 평가 기준

모든 풀이를 마친 후 아래 기준으로 스스로 채점하라. 풀이 과정이 없는 답은 0점 처리한다.

영역	배점	평가 기준
기본 적분 (1, 4, 8)	20점	기본 공식 정확 적용, +C 누락 없음
테크닉 선택 (2, 3, 5, 6, 7)	25점	올바른 테크닉 판단 + 실행 정확도
연산 정확도 (17, 18, 19, 20)	25점	복합 테크닉 조합, 중간 과정의 정확성
FTC / 이상적분 (11~16)	15점	FTC 적용, 이상적분 수렴 판정, 극한 처리
검산 / 대칭성 (9, 10, 전체 검산)	15점	대칭성 활용, 모든 부정적분에 미분 검산 수행
합계	100점

80점 이상이면 3단계로 진행할 준비가 된 것이다. 70점 미만이면 틀린 유형의 문제를 추가로 연습한 후 다시 도전하라. 특히 테크닉 선택에서 실수가 잦다면 의사결정 트리를 다시 그리고, 각 테크닉의 **"신호"**를 정리하라.

미적분학 및 해석학 기초