미적분학 1단계: 극한에서 미분까지 — "변화를 읽는 눈"

Part 0. 왜 미적분인가 — 배경지식과 직관의 씨앗

너는 지금까지 수학에서 "고정된 것"을 다뤄왔다. 삼각형의 넓이, 이차방정식의 근, 직선의 기울기. 이 모든 건 멈춰 있는 세계의 수학이다. 그런데 세상은 멈춰 있지 않다. 공이 떨어지고, 인구가 늘고, 주가가 출렁이고, 바이러스가 퍼진다. 이런 "변화하는 것"을 수학으로 포착하려는 시도가 바로 미적분학(Calculus)이다. 17세기에 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)가 거의 동시에, 서로 모르는 채로 이 도구를 발명했다. 뉴턴은 "물체가 이 순간 얼마나 빨리 움직이나?"를 알고 싶었고, 라이프니츠는 "곡선 아래 면적을 어떻게 구하나?"를 알고 싶었다. 질문은 달랐지만 답은 하나로 수렴했다 — 그게 미적분이다.

미적분을 이해하려면 먼저 **함수(function)**라는 개념이 뼈에 박혀 있어야 한다. 함수란 "입력을 넣으면 출력이 나오는 기계"다. f(x) = x²이라고 하면, x = 3을 넣었을 때 9가 나온다. 이건 알고 있을 거다. 그런데 여기서 한 발 더 나가보자. 함수의 그래프를 떠올려봐. y = x²의 그래프는 포물선이다. 이 포물선 위의 한 점, 예를 들어 (2, 4)에서 **"곡선이 얼마나 가파른가?"**를 숫자로 표현할 수 있을까? 직선이면 기울기가 있으니 쉽다. 그런데 곡선은? 곡선은 매 순간 기울기가 바뀐다. 이 질문에 답하는 게 **미분(differentiation)**이고, 그 답을 구하기 위해 우리는 먼저 **극한(limit)**이라는 개념을 정복해야 한다.

Part 1. 극한(Limit) — "거의 닿을 듯, 닿지 않는"

직관부터 시작하자

자, 네가 친구에게 걸어간다고 상상해봐. 1미터 남았을 때 멈추고, 다시 남은 거리의 절반인 0.5미터를 가고 멈추고, 다시 0.25미터를 가고 멈추고… 이걸 무한히 반복하면 너는 친구에게 도달하나? 수학적으로는 "영원히 도달하지 못한다." 하지만 현실에서는? 사실상 도달한 것이나 다름없다. 이 "도달하지 않지만 한없이 가까워지는" 상태, 이것이 극한의 직관이다.

수식으로 써보자. f(x) = (x² - 1)/(x - 1)이라는 함수를 생각해봐. x = 1을 넣으면? 분모가 0이 되니까 정의되지 않는다. 함수가 x = 1에서 "고장"난 거다. 그런데 x를 1에 아주 가깝게 보내보면 — x = 0.9일 때 f(x) = 1.9, x = 0.99일 때 f(x) = 1.99, x = 0.999일 때 f(x) = 1.999… 패턴이 보이나? x가 1에 가까워질수록 f(x)는 2에 가까워진다. 이걸 수학에서는 이렇게 쓴다:

$x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$

여기서 핵심을 짚자. 극한은 x = 1에서의 함수값이 아니다. x가 1에 "다가갈 때" 함수값이 어디로 향하느냐의 문제다. 실제로 위 함수를 인수분해하면 (x² - 1) = (x+1)(x-1)이니까 f(x) = (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1 (단, x ≠ 1). x+1에 x = 1을 넣으면 2. 그래서 극한이 2인 거다. 잠깐 멈추고 스스로 생각해봐 — 왜 인수분해가 가능했을까? 분자가 분모의 인수를 포함하고 있었기 때문이다. 극한 문제에서 0/0 꼴이 나오면, 십중팔구 이런 "약분 가능한 구조"가 숨어 있다. 이 감각을 기억해둬.

극한의 기본 성질

두 함수 f(x)와 g(x)의 극한이 각각 존재한다면(각각 L과 M이라 하자), 다음이 성립한다. [노트 기록] 이 성질들은 외워야 한다기보다, "당연한 것"으로 체화해야 한다.

$x \to a lim [f (x) + g (x)] = L + M$ $x \to a lim [f (x) \cdot g (x)] = L \cdot M$ $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M} (M \neq = 0)$

이건 사실 상식이다. 두 개가 각각 어떤 값에 다가가면, 더한 것도 더한 값에 다가간다. 곱도, 나눗셈도 마찬가지. 문제는 L = 0이고 M = 0일 때, 즉 0/0 꼴이다. 이때는 위 공식을 못 쓴다. 아까 했던 것처럼 인수분해, 유리화, 또는 나중에 배울 로피탈의 정리(L'Hôpital's Rule)를 써야 한다.

여기서 중요한 극한 하나를 짚고 넘어가자. [노트 기록] 반드시 손으로 써서 외워라:

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

이건 왜 1일까? 단위원(unit circle)을 그려보면 된다. 반지름 1인 원에서 각도 x (라디안)에 대응하는 호의 길이는 x이고, 그 호에 대응하는 수직선의 길이가 sin x다. x가 아주 작으면 호와 수직선이 거의 같은 길이가 된다 — 곡선이 거의 직선이 되니까. 따라서 sin x ≈ x이고, sin x / x ≈ 1. 이 논증을 단위원 그림 없이 머릿속에서 그릴 수 있을 때까지 반복해봐.

좌극한, 우극한, 그리고 극한의 존재

극한이 존재하려면 왼쪽에서 다가갈 때의 값과 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 같아야 한다. f(x) = |x|/x를 생각해봐. x > 0이면 f(x) = 1, x < 0이면 f(x) = -1이다. x → 0일 때 왼쪽에서는 -1로, 오른쪽에서는 1로 간다. 둘이 다르니까 극한이 존재하지 않는다. 이걸 기호로 쓰면:

$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1, x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$

좌극한 ≠ 우극한이므로, $lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣}{x}$ 는 존재하지 않는다. 직접 한번 생각해봐 — 그래프를 머릿속에 그려보면 x = 0에서 함수가 -1에서 갑자기 1로 "점프"하는 모양이다.

ε-δ 정의 — 엄밀함의 세계로

지금까지는 "가까워진다"를 직관으로 이해했다. 그런데 수학자들은 "가까워진다"가 정확히 무슨 뜻이냐고 묻는다. 19세기 독일의 수학자 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 이 질문에 답했다. 그의 답이 바로 ε-δ (엡실론-델타) 정의다.

[노트 기록] 이것은 미적분학의 논리적 기초다. 처음에는 어렵지만, 이해하고 나면 "극한"이라는 개념이 수정처럼 투명해진다.

$lim_{x \to a} f (x) = L$ 이란, 임의의 ε > 0에 대하여, 적절한 δ > 0가 존재하여, 0 < |x - a| < δ이면 |f(x) - L| < ε이 성립하는 것이다.

무슨 말인지 천천히 풀어보자. 이걸 "도전과 응전의 게임"으로 생각하면 된다. 네 앞에 심술궂은 심판이 있다. 심판이 말한다: "f(x)가 L에 정말로 가까워진다고? 그러면 내가 아무리 작은 오차 범위 ε을 줘도 거기 안에 들어올 수 있어?" 네가 해야 할 일은, 심판이 어떤 ε을 주든, x를 a에 충분히 가깝게 보내는 범위 δ를 찾아서 f(x)가 그 오차 범위 안에 들어오게 하는 거다. 만약 어떤 ε에 대해서든 항상 δ를 찾을 수 있다면, 극한이 L이라고 인정한다.

예를 들어 f(x) = 2x + 1에서 $lim_{x \to 3} f (x) = 7$ 임을 ε-δ로 증명해보자. |f(x) - 7| = |2x + 1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3|. 우리는 이것이 ε보다 작기를 원한다. 즉 2|x - 3| < ε, 따라서 |x - 3| < ε/2. 그러니까 δ = ε/2로 잡으면 된다! 심판이 ε = 0.01을 주면? δ = 0.005로 응수하면 된다. ε = 0.0001을 주면? δ = 0.00005. 어떤 ε이든 δ = ε/2로 응수할 수 있으니, 극한이 7인 것이 엄밀하게 증명된 거다.

이 정의가 왜 중요하냐면, 수학에서 "대충 가까워지는 것 같다"는 건 증명이 아니기 때문이다. ε-δ 정의는 직관을 논리로 바꾸는 다리다. 물리학자는 직관만으로도 충분할 수 있지만, 수학자는 이 다리를 건너야 한다. 그리고 네가 나중에 해석학(Analysis)을 공부하면, 이 정의가 모든 것의 출발점이 된다. 여기서 한 가지 주의: ε-δ 정의에서 0 < |x - a|라는 조건이 붙어 있다. 이건 x = a 자체는 제외한다는 뜻이다. 극한은 "그 점에서의 값"이 아니라 "그 점에 다가갈 때의 경향"이니까.

연속(Continuity) — 극한과 함수값이 악수하는 순간

극한을 이해했으면, 연속은 금방이다. 함수 f(x)가 x = a에서 **연속(continuous)**이라 함은, 다음 세 조건을 모두 만족하는 것이다. [노트 기록]

f(a)가 정의되어 있다 (함수값이 존재)
$lim_{x \to a} f (x)$ 가 존재한다 (극한이 존재)
$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ (극한값 = 함수값)

쉽게 말하면, **"그래프를 연필로 끊지 않고 쭉 그릴 수 있다"**는 거다. 아까 본 f(x) = (x² - 1)/(x - 1)은 x = 1에서 연속인가? f(1)은 정의되지 않으므로 (분모가 0) 조건 1부터 실패한다. 따라서 불연속이다. 하지만 만약 우리가 "x = 1에서의 함수값을 2로 정의하자"고 약속하면? 그러면 세 조건이 모두 충족되어 연속이 된다. 이렇게 구멍을 메울 수 있는 불연속을 **제거 가능한 불연속(removable discontinuity)**이라 부른다. 반면 아까 본 |x|/x의 경우는 좌극한 ≠ 우극한이니 메울 수 없다 — 이건 **점프 불연속(jump discontinuity)**이다.

불연속의 종류를 아는 건 나중에 적분할 때도 중요하다. 왜냐하면 **적분 가능성(integrability)**이 연속성과 밀접하게 연결되어 있기 때문이다 (2단계에서 다시 만날 것이다). 지금은 "연속 = 극한값과 함수값이 일치"라는 핵심만 확실히 잡아두자.

Part 2. 미분의 정의 — "이 순간, 얼마나 빠르게?"

평균변화율에서 순간변화율로

자, 이제 극한이라는 도구를 손에 쥐었으니, 미분이라는 건물을 지어보자. 너는 차를 타고 서울에서 대전까지 150km를 1시간 30분(1.5시간)에 갔다. 평균 속도는? 150/1.5 = 100km/h. 쉽다. 그런데 이 "100km/h"는 매 순간의 속도인가? 아니다. 출발할 때는 느렸고, 고속도로에서는 빨랐고, 톨게이트에서는 멈췄다. 어느 한 순간의 속도 — 예를 들어 "출발 후 정확히 30분 시점에 몇 km/h로 달리고 있었나?" — 이걸 어떻게 구할까?

답은 이렇다. 30분 시점 전후로 아주 짧은 시간 간격을 잡는 거다. 30분에서 30분 1초 사이에 이동한 거리를 그 시간(1초)으로 나누면 꽤 정확한 속도가 나온다. 그 간격을 0.1초로 줄이면? 더 정확해진다. 0.01초? 0.001초? 시간 간격을 0에 한없이 가깝게 줄이면, 그게 바로 순간 속도다. 그리고 이 과정이 바로 극한이다!

이걸 수식으로 쓰면: 위치 함수 s(t)에 대해, 시각 t에서의 순간 속도는

$v (t) = h \to 0 lim \frac{s ( t + h ) - s ( t )}{h}$

이 식을 뜯어보자. s(t+h) - s(t)는 시간 h 동안의 이동 거리(변화량), h는 시간 간격, 그 비율은 평균 속도다. h → 0으로 보내면 순간 속도. 이것이 미분의 정의다.

도함수(Derivative)의 정의

위의 아이디어를 일반화하자. 함수 f(x)에 대해, 도함수(derivative) f'(x)는 다음과 같이 정의된다. [노트 기록] 이 정의는 미적분학 전체의 초석이다:

$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$

이 식의 기하학적 의미를 생각해봐. y = f(x) 그래프 위의 두 점 (x, f(x))와 (x+h, f(x+h))를 잇는 직선을 **할선(secant line)**이라 한다. 이 할선의 기울기가 [f(x+h) - f(x)]/h다. h를 0에 가깝게 보내면 두 점이 하나로 합쳐지면서 할선이 **접선(tangent line)**이 된다. 따라서 f'(x)는 곡선 y = f(x) 위의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기다.

직접 해보자. f(x) = x²의 도함수를 정의로 구해봐. f(x+h) = (x+h)² = x² + 2xh + h². 그러면:

$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x ^{2} + 2 x h + h ^{2} ) - x ^{2}}{h} = h \to 0 lim \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = h \to 0 lim (2 x + h) = 2 x$

그러니까 x²의 도함수는 2x다. x = 3에서의 접선 기울기? f'(3) = 6. 이건 "y = x²의 그래프에서 점 (3, 9)을 지나는 접선의 기울기가 6"이라는 뜻이다. 한번 스스로 확인해봐 — f(x) = x³에 같은 방법을 적용하면 f'(x)가 뭐가 나올까? 직접 전개해보고, 패턴을 찾아봐. (힌트: (x+h)³을 이항정리로 전개한다.)

미분 가능성과 연속성의 관계

여기서 중요한 정리 하나. 미분 가능하면 반드시 연속이다. 그 역은? 성립하지 않는다. f(x) = |x|는 x = 0에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. 왜? 좌측에서의 기울기는 -1, 우측에서의 기울기는 +1이다. 접선이 하나로 정해지지 않으니 미분 불가능이다. 이걸 정의로 확인하면: $lim_{h \to 0^{+}} \frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = 1$ 이고 $lim_{h \to 0^{-}} \frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = - 1$ . 좌극한 ≠ 우극한이므로 극한이 존재하지 않고, 따라서 미분 불가능. Part 1에서 배운 좌극한/우극한 개념이 여기서 다시 쓰이는 걸 주목해.

Part 3. 기본 미분 공식 — "무기를 장착하라"

매번 정의(극한)로 미분하면 시간이 너무 오래 걸린다. 그래서 수학자들이 자주 쓰는 함수들의 미분 결과를 미리 정리해놨다. 이건 외워야 한다. 공식을 모르면 미적분을 할 수 없다 — 알파벳을 모르면 영어를 못 하는 것과 같다. [노트 기록] 아래 공식을 빠짐없이 손으로 적고, 각각의 의미를 되새기며 외워라.

다항함수: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ . 이걸 **거듭제곱 법칙(power rule)**이라 한다. 예: $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ . "지수를 앞으로 끌어내리고, 지수에서 1을 뺀다." 아까 x²의 도함수가 2x였던 거, x³의 도함수를 직접 구해봤다면 3x²가 나왔을 거다. 패턴이 보이지? 이게 power rule이다. 더 재밌는 건, n이 정수가 아니어도 된다는 점이다. $(x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$ . 루트도 미분 가능하다!

지수함수: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . 자기 자신이 도함수인 유일한 함수다(상수배 제외). 자연상수 **e ≈ 2.71828...**은 미적분에서 가장 자연스러운 밑(base)이다. 왜 "자연"상수냐면, $lim_{h \to 0} \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1$ 이기 때문이다 — 미분 정의에 넣으면 깔끔하게 떨어진다. 일반 지수함수는 $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ .

로그함수: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ . 이건 지수함수의 역함수이기 때문에 나오는 결과다 (역함수 미분은 뒤에서 배운다). 일반 로그는 $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}$ .

삼각함수: $(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$ . 왜 코사인의 도함수에 마이너스가 붙을까? sin x를 미분하면 cos x가 나오는데, cos x를 미분하면 -sin x가 나오고, -sin x를 미분하면 -cos x가 나오고, -cos x를 미분하면 다시 sin x가 나온다. 네 번 미분하면 원래로 돌아온다! 이 순환 구조는 삼각함수의 본질적 성질이고, 나중에 미분방정식(3단계)에서 진동 현상을 설명할 때 핵심이 된다. 나머지: $(tan x)^{'} = sec^{2} x$ , $(sec x)^{'} = sec x tan x$ , $(csc x)^{'} = - csc x cot x$ , $(cot x)^{'} = - csc^{2} x$ .

여기서 잠깐 [눈치밥 스킬] 하나. "미분하면 차수가 하나 내려간다." $x^{5} \to 5 x^{4}$ (5차 → 4차). $x^{100} \to 100 x^{99}$ (100차 → 99차). 이 감각을 가지고 있으면, 복잡한 식을 미분하기 전에 **"결과가 대충 몇 차식이겠다"**를 예측할 수 있다. 답이 예상과 다르면? 어딘가에서 실수한 거다. 이게 검산이다.

Part 4. 미분 법칙 — "조합의 기술"

실제 함수들은 여러 함수의 합, 곱, 몫, 합성으로 이루어져 있다. 각각을 미분하는 법칙을 알아야 한다.

합의 법칙: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ . 당연하다. 각각 미분해서 더하면 된다. 마찬가지로 상수배도 $(c f)^{'} = c f^{'}$ .

곱의 법칙(Product Rule): $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ . [노트 기록] "앞미후 + 앞후미"(앞을 미분하고 뒤는 그대로 + 앞은 그대로 뒤를 미분)로 외우면 된다. 예: $(x^{2} sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x$ . 왜 단순히 $f^{'} \cdot g^{'}$ 이 아닐까? 직접 정의로 유도해보면 알 수 있다. f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)를 전개할 때, **f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)**로 쪼개는 트릭을 쓴다. 이 유도를 직접 해보길 강력히 추천한다.

몫의 법칙(Quotient Rule): $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ . [노트 기록] "분자미분×분모 - 분자×분모미분, 분모제곱으로 나누기." 분모 제곱이 붙는다는 걸 잊지 마. tan x = sin x / cos x에 몫의 법칙을 적용해봐. (cos x · cos x - sin x · (-sin x)) / cos²x = (cos²x + sin²x) / cos²x = 1/cos²x = sec²x. 아까 외운 $(tan x)^{'} = sec^{2} x$ 가 확인된다!

합성함수와 연쇄 법칙(Chain Rule) — 미분의 꽃

여기가 가장 중요하다. **합성함수(composite function)**란 "함수 안에 함수"가 있는 것이다. h(x) = sin(x²)에서, 바깥 함수는 sin(□)이고 안쪽 함수는 x²이다. 이런 함수를 어떻게 미분하나?

연쇄 법칙(Chain Rule): $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

[노트 기록] 이걸 말로 풀면: "바깥 함수를 미분하되 안쪽은 그대로 두고, 거기에 안쪽 함수의 미분을 곱한다." [눈치밥 스킬] 합성함수가 보이면 바깥 → 안쪽 순서로 미분한다.

예제를 보자. h(x) = sin(x²). 바깥 = sin(□), 안쪽 = x². 바깥 미분 = cos(□) → cos(x²). 안쪽 미분 = 2x. 따라서 h'(x) = cos(x²) · 2x = 2x cos(x²). 간단하지?

좀 더 복잡한 것: $y = e^{s i n (3 x)}$ . 세 겹으로 합성되어 있다. 가장 바깥: $e^{□}$ , 중간: $sin (□)$ , 가장 안쪽: $3 x$ . 체인룰을 연속 적용하면: $y^{'} = e^{s i n (3 x)} \cdot cos (3 x) \cdot 3 = 3 cos (3 x) \cdot e^{s i n (3 x)}$ . 겹겹이 벗겨낸다는 느낌을 기억해.

체인룰이 왜 작동하는지 직관적으로 이해하고 싶다면 이렇게 생각해봐. u = g(x)로 놓으면 y = f(u). x가 Δx만큼 변하면 u가 Δu ≈ g'(x)Δx만큼 변하고, u가 Δu만큼 변하면 y가 Δy ≈ f'(u)Δu만큼 변한다. 따라서 Δy ≈ f'(u) · g'(x) · Δx. 양변을 Δx로 나누면 dy/dx ≈ f'(u) · g'(x). 이게 체인룰이다. 변화가 연쇄적으로 전파되는 것이다 — 그래서 "연쇄(chain)" 법칙.

Part 5. 고급 미분 — 음함수, 역함수, 매개변수

음함수 미분(Implicit Differentiation)

지금까지는 y = f(x) 형태, 즉 **양함수(explicit function)**를 미분했다. 그런데 어떤 곡선은 이렇게 깔끔하게 쓸 수 없다. 예를 들어 원: $x^{2} + y^{2} = 25$ . 이걸 y에 대해 풀면 $y = \pm 25 - x^{2}$ 이 되어 함수가 두 개로 쪼개진다. 불편하다. 음함수 미분은 이 방정식을 풀지 않고 양변을 x에 대해 미분하는 기법이다.

$x^{2} + y^{2} = 25$ 의 양변을 x로 미분한다. $2 x + 2 y \cdot \frac{d y}{d x} = 0$ . 여기서 y²을 x로 미분할 때 체인룰이 쓰인다는 걸 주목해! y는 x의 함수이므로 $(y^{2})^{'} = 2 y \cdot y^{'}$ 이다. 정리하면 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ . 아름답다. 점 (3, 4)에서의 기울기는? dy/dx = -3/4. 원 위의 점에서 접선 기울기가 반지름과 수직이라는 기하학적 사실과도 일치한다 (반지름 기울기 = 4/3, 접선 기울기 = -3/4, 곱하면 -1 → 수직).

조금 더 어려운 예: $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ . 이건 **데카르트의 잎사귀(Folium of Descartes)**라는 유명한 곡선이다. 양변을 x로 미분하면 $3 x^{2} + 3 y^{2} y^{'} = 6 y + 6 x y^{'}$ . y'에 대해 정리하면 $y^{'} (3 y^{2} - 6 x) = 6 y - 3 x^{2}$ , 따라서 $y^{'} = \frac{6 y - 3 x ^{2}}{3 y ^{2} - 6 x} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x}$ . 여기서 분모가 0이 되는 점에서는 접선이 수직이라는 뜻이다. 직접 생각해봐 — 어떤 점에서 분모가 0이 될까?

역함수 미분

$y = f (x)$ 의 역함수 $x = f^{- 1} (y)$ 에 대해, 역함수의 도함수는:

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x} 즉 (f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$

이건 직관적으로도 말이 된다. y가 x에 대해 빠르게 변하면(dy/dx가 크면), x는 y에 대해 느리게 변한다(dx/dy가 작다). 역수 관계다. 이걸로 $(ln x)^{'}$ 를 유도해볼 수 있다. $y = ln x$ 이면 $x = e^{y}$ 이고 $d x / d y = e^{y} = x$ . 따라서 $d y / d x = 1/ x$ . 이게 $(ln x)^{'} = 1/ x$ 의 증명이다. 외워서 쓰고 있던 공식에 이런 논리가 숨어 있었다.

역삼각함수의 미분도 같은 원리다. $y = arcsin x$ 이면 $x = sin y$ , $d x / d y = cos y = 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$ . 따라서 $(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ . [노트 기록] 역삼각함수 미분 공식도 정리해두자: $(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , $(arcsec x)^{'} = \frac{1}{∣ x ∣ x ^{2} - 1}$ .

매개변수 미분(Parametric Differentiation)

곡선이 $x = f (t)$ , $y = g (t)$ 로 주어질 때 (t는 매개변수), dy/dx는:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$

이것도 체인룰의 결과다. $d y / d x = (d y / d t) \cdot (d t / d x) = (d y / d t) / (d x / d t)$ . 예: 원의 매개변수 표현 $x = 5 cos t$ , $y = 5 sin t$ . $d x / d t = - 5 sin t$ , $d y / d t = 5 cos t$ . 따라서 $d y / d x = \frac{5 c o s t}{- 5 s i n t} = - cot t$ . t = π/4에서의 기울기? $- cot (π /4) = - 1$ . 이건 원의 점 $(5 cos (π /4), 5 sin (π /4)) = (5/ 2, 5/ 2)$ 에서의 접선 기울기이고, 아까 음함수로 구한 것과 같은 결과를 준다 (확인해봐!).

Part 6. 무한소 연산과 테크닉 — dx, dy를 분수처럼?

라이프니츠 표기법 dy/dx는 원래 하나의 기호다. 분수가 아니다. 그런데 체인룰을 보면 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ 인데, 이건 마치 du가 약분되는 것 같다! 매개변수 미분에서도 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ 는 dt가 약분되는 것처럼 보인다. 이게 우연인가?

사실 우연이 아니다. 라이프니츠는 dx와 dy를 **무한히 작은 양(infinitesimal)**으로 생각했고, 그 비율이 도함수라고 봤다. 이 관점은 계산에서 매우 편리하다. 예를 들어 $y = x^{2}$ 이면 $d y = 2 x d x$ 라고 쓸 수 있고, 이건 **미분(differential)**이라 불린다. "x가 dx만큼 변할 때, y는 대략 2x·dx만큼 변한다"는 뜻이다.

[눈치밥 스킬] 이 "분수 테크닉"은 체인룰, 치환적분(2단계), 변수분리형 ODE(3단계)에서 반복적으로 쓰인다. 하지만 한계도 있다. $d^{2} y / d x^{2}$ (이계도함수)는 분수처럼 다루면 안 된다. $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} \neq = (\frac{d y}{d x})^{2}$ 이다. 분수 표기의 편리함에 취하되, 형식적 계산의 한계를 인식하고 있어야 진짜 수학을 하는 거다. 비엄밀한 무한소 연산을 엄밀하게 정당화하려면 **비표준 해석학(non-standard analysis, Abraham Robinson, 1960)**이라는 분야가 필요한데, 이건 대학원 수준이니 지금은 "편리하지만 조심해서 쓸 것"으로 기억해두면 된다.

로그 미분법 — 막힐 때의 비장의 무기

$y = x^{x}$ 을 미분해봐. 이건 지수에도 x가 있고 밑에도 x가 있다. power rule도 안 먹히고 $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ 도 안 먹힌다 (a가 상수가 아니니까). [눈치밥 스킬] 이럴 때는 양변에 로그를 씌운다.

$ln y = x ln x$ . 양변을 x로 미분한다: $\frac{y ^{'}}{y} = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$ . 따라서 $y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1)$ . 이 기법을 **로그 미분법(logarithmic differentiation)**이라 한다. 복잡한 곱/몫/거듭제곱이 뒤엉킨 함수를 미분할 때 위력을 발휘한다. 예를 들어 $y = \frac{x ^{3} x + 1}{( 2 x - 1 ) ^{5}}$ 같은 걸 곱의 법칙과 몫의 법칙으로 미분하면 지옥이지만, 로그를 씌우면 $ln y = 3 ln x + \frac{1}{2} ln (x + 1) - 5 ln (2 x - 1)$ 로 덧셈 형태가 되어 각각 미분하면 끝이다.

차원 분석과 검산 — "답이 이상한데?"

물리에서 온 기법인데, 수학에서도 강력하다. [눈치밥 스킬] 예를 들어 원의 넓이 $A = π r^{2}$ 을 r로 미분하면 $d A / d r = 2 π r$ 인데, 이건 원의 둘레다! 넓이(길이²)를 길이로 미분하면 길이¹이 나온다 — 차원이 맞다. 만약 미분 결과가 $2 π r^{2}$ 이 나왔다면? 길이²이니 차원이 안 맞다. 어딘가 틀린 거다.

또 하나의 검산법. 극한 케이스(extreme case) 대입. $f (x) = (1 + x)^{n}$ 의 도함수가 $n (1 + x)^{n - 1}$ 이라면, x = 0을 넣으면 f'(0) = n. 한편 f(x) ≈ 1 + nx (x ≈ 0에서의 1차 근사)이니 f'(0) = n. 일치한다. x → ∞를 넣어보면? f(x) → ∞이고 f'(x) → ∞. 증가함수니 도함수가 양수인 것도 맞다. 이런 "냄새 맡기" 습관이 실수를 잡는다.

Part 7. 프로젝트 — 미분 마스터 드릴

아래 문제들은 정답 없이 제공된다. 스스로 풀고, 풀이 과정을 꼼꼼히 적어라. 검산까지 반드시 수행할 것. 약 40분 분량이다.

Section A. 극한과 연속 (15점 배점 영역)

A1. 다음 극한을 구하여라.

(a) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

(b) $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x}$

(d) $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}$

A2. 다음 함수의 x = 1에서의 연속성을 조사하여라. 연속이 아니라면 불연속의 종류(제거 가능, 점프, 무한)를 밝혀라.

$f (x) = {\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} 3 (x \neq = 1) (x = 1)$

A3. ε-δ 정의를 사용하여 $x \to 2 lim (3 x + 1) = 7$ 을 증명하여라.

Section B. 기본 미분 (25점 배점 영역)

B1. 다음 함수를 미분하여라.

(a) $f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 2$

(b) $g (x) = x + \frac{1}{x ^{2}}$

(d) $y = \frac{x ^{2} + 1}{l n x}$

(e) $f (x) = x^{3} cos x - 2 x e^{x}$

B2. 미분의 정의(극한)를 사용하여 $f (x) = \frac{1}{x}$ 의 도함수를 구하여라.

B3. $y = 3 sin x - 2 cos x$ 일 때, $y^{''} + y$ 의 값을 구하여라. (이계도함수를 구한 뒤 원래 함수와 더해보라. 무슨 일이 일어나는가? 왜 그런지도 생각해보라.)

Section C. 합성함수와 Chain Rule (25점 배점 영역)

C1. 다음 함수를 미분하여라.

(a) $y = sin (3 x^{2} + 1)$

(b) $y = e^{- x^{2}}$

(d) $y = (2 x^{3} + 5)^{7}$

(e) $y = 1 + e^{2 x}$

(f) $y = tan^{3} (4 x)$ (이건 $[tan (4 x)]^{3}$ 이라는 뜻이다.)

C2. $y = e^{s i n (l n x)}$ 를 미분하여라. (세 겹 합성이다. 바깥부터 차분하게.)

C3. $f (x) = sin^{2} x + cos^{2} x$ 를 미분하여라. 미분하기 전에 이 함수의 값이 무엇인지 생각해보라. 결과가 시사하는 바는?

Section D. 고급 미분: 음함수, 역함수, 매개변수 (20점 배점 영역)

D1. 다음 방정식으로 정의된 곡선에서 dy/dx를 구하여라.

(a) $x^{2} + x y + y^{2} = 7$

(b) $sin (x y) = x + y$

D2. $y = arctan (2 x)$ 를 미분하여라. (역함수 미분 공식과 체인룰을 결합한다.)

D3. 곡선 $x = t^{2} - 1$ , $y = t^{3} - 3 t$ 에 대해:

(a) dy/dx를 t로 표현하여라.

(b) 접선이 수평인 점(들)을 구하여라. (dy/dx = 0인 t를 찾아라.)

D4. 로그 미분법을 사용하여 $y = \frac{x ^{2} x + 3}{( x - 1 ) ^{4}}$ (x > 1)을 미분하여라.

Section E. 감각과 검산 (15점 배점 영역)

E1. 미분하지 말고, 다음 도함수의 대략적인 형태를 예측하여라. 그런 다음 실제로 미분하여 예측과 비교하라.

(a) $f (x) = x^{10} + 3 x^{5}$ 의 도함수는 대략 몇 차식인가?

(b) $g (x) = e^{2 x} \cdot x^{3}$ 의 도함수에는 어떤 항들이 나올 것으로 예상되는가?

E2. 어떤 학생이 $f (x) = sin (x^{2})$ 을 미분하여 $f^{'} (x) = cos (2 x)$ 를 얻었다. 이 답이 틀렸음을 극한 케이스 대입(x = 0)을 이용하여 보여라. 그리고 올바른 답을 구하라.

E3. 구의 부피 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 를 r로 미분하면 $\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$ 이다. 이것은 구의 어떤 기하학적 양과 같은가? 왜 그런지 직관적으로 설명하여라. (힌트: 구의 부피를 아주 얇은 구껍데기의 "적층"으로 생각해보라.)

평가 기준

위 프로젝트를 다 풀었으면 나에게 풀이를 보내줘. 아래 배점 기준으로 채점할게:

영역	배점	평가 포인트
극한/연속 (Section A)	15점	ε-δ 증명의 논리적 완결성, 불연속 분류 정확도
기본 미분 (Section B)	25점	공식 적용 정확도, 정의를 이용한 유도 능력
고급 미분 (Section C+D)	25점+20점	체인룰 적용 숙련도, 음함수/매개변수 미분 정확도
감각/검산 (Section E)	15점	"답 냄새 맡기", 차원 분석, 기하학적 해석 능력

총 100점 만점이고, 80점 이상이면 2단계(적분)로 넘어갈 준비가 된 것이다.

미적분학 및 해석학 기초