전자기학 및 장론
Electromagnetics
2단계: 맥스웰 방정식의 완전한 형태와 전자기파
배경지식 — 당신은 이미 절반을 알고 있다
1단계에서 당신은 세 개의 거인을 만났다. 가우스 법칙(전하가 전기장을 만든다), 패러데이 법칙(변화하는 자기장이 전기장을 유도한다), 앙페르 법칙(전류가 자기장을 만든다). 이 법칙들은 각각 독립적인 현상처럼 보이지만, 1865년 스코틀랜드 물리학자 **제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)**은 이 모든 것이 하나의 일관된 체계로 묶인다는 것을 발견했다 — 그리고 그 과정에서 우주에서 가장 빠른 속도의 비밀을 수식으로 끄집어냈다. 이 단계는 그 이야기다.
먼저 잠깐 생각해보자. 1단계에서 배운 앙페르 법칙의 미분형은 ∇×B = μ₀J 이었다. 여기서 J는 전류 밀도다. 그런데 여기에 심각한 논리적 결함이 있다. 발산 연산자(∇·)를 이 식 양변에 적용해보면 ∇·(∇×B) = μ₀∇·J 인데, 수학적으로 어떤 벡터장의 컬(curl)의 발산은 항상 0이다. 즉 왼쪽은 항상 0이어야 한다. 그렇다면 오른쪽 μ₀∇·J 도 0이어야 하는데, 이것은 전하 보존 법칙 ∂ρ/∂t + ∇·J = 0과 모순된다 — 시간에 따라 변하는 전하 밀도가 있는 상황에서는 ∇·J ≠ 0이기 때문이다. 기존 앙페르 법칙은 정자기장(시간 불변 상황)에서만 성립한다. 맥스웰은 이 균열을 발견하고, 수식 하나를 추가함으로써 우주의 비밀을 열었다.
본 내용 1부 — 맥스웰이 추가한 것, 그리고 완전한 방정식 체계
맥스웰이 추가한 항은 **변위 전류(Displacement Current)**다. 콘덴서(커패시터)를 상상해보자. 두 금속판 사이에는 실제 전하가 흐르지 않지만, 전기장이 시간에 따라 변한다. 맥스웰은 이 변화하는 전기장이 마치 전류처럼 자기장을 만들어야 일관성이 유지된다고 추론했다. 그래서 앙페르 법칙에 μ₀ε₀∂E/∂t 항을 더했다.
[노트 기록] 맥스웰 방정식 완전형 (미분형)
① ∇·E = ρ/ε₀ (전하가 전기장의 원천이다 — 가우스 법칙) ② ∇·B = 0 (자기 홀극은 존재하지 않는다 — 자기 가우스 법칙) ③ ∇×E = −∂B/∂t (변화하는 자기장이 전기장을 만든다 — 패러데이 법칙) ④ ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t (전류와 변화하는 전기장이 자기장을 만든다 — 앙페르-맥스웰 법칙)
여기서 ε₀ ≈ 8.854×10⁻¹² F/m는 진공 유전율(permittivity of free space), μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m는 **진공 투자율(permeability of free space)**이다. 이 두 상수의 물리적 의미를 생각해보면: ε₀는 진공이 전기장을 '얼마나 잘 허용하는가'를 나타내고, μ₀는 진공이 자기장을 '얼마나 잘 허용하는가'를 나타낸다. 이 두 값이 우주의 전자기적 성질을 결정한다.
본 내용 2부 — 빛의 정체를 수식으로 폭로하다
이제 진공(ρ = 0, J = 0) 상황을 생각하자. 전하도 없고 전류도 없다. 그러면 맥스웰 방정식은 다음과 같이 단순해진다.
∇×E = −∂B/∂t , ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t
이 두 식의 아름다움을 먼저 느껴보자. E가 변하면 B가 생기고, B가 변하면 E가 생긴다. 서로를 먹이 삼아 영원히 자가 유지되는 구조다. 이걸 수학적으로 추적해보면 무슨 일이 일어나는지 알 수 있다. 세 번째 식 ∇×E = −∂B/∂t 의 양변에 컬(∇×)을 취해보자.
∇×(∇×E) = −∂(∇×B)/∂t
왼쪽은 벡터 항등식 ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) − ∇²A 로 전개되고, 진공에서 ∇·E = 0이므로 ∇×(∇×E) = −∇²E 가 된다. 오른쪽의 ∇×B는 네 번째 맥스웰 방정식에 의해 μ₀ε₀∂E/∂t 이다. 따라서:
[노트 기록] 전자기파 방정식 (Wave Equation)
∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²
이 식의 형태를 알고 있는가? 이것은 파동 방정식(wave equation)이다. 1차원에서 표준 파동 방정식은 ∂²u/∂x² = (1/v²)∂²u/∂t² 이고, 여기서 v는 파동의 전파 속도다. 우리의 식을 비교하면:
c = 1/√(μ₀ε₀)
숫자를 넣어보자. 1/√(4π×10⁻⁷ × 8.854×10⁻¹²) ≈ 2.998×10⁸ m/s. 이것이 바로 빛의 속도다. 맥스웰이 이 결과를 처음 얻었을 때, 그는 1865년 논문에 "이 속도는 빛의 속도와 너무나 가깝기 때문에 빛 자체가 전자기 현상이라고 믿지 않을 수 없다"고 적었다 (A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Maxwell, 1865). 빛은 전기장과 자기장이 서로를 낳으며 공간을 질주하는 파동이다. 라디오파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선 — 이 모든 것이 파장만 다를 뿐 동일한 현상이다.
평면파(plane wave) 해를 구체적으로 쓰면 E = E₀ cos(kz − ωt) x̂ 형태가 된다. 여기서 k = ω/c는 파수(wavenumber), ω는 각주파수다. 이 해가 뜻하는 것: 전기장은 x방향으로 진동하고, z방향으로 빛의 속도로 전파된다. 자기장 B는? 패러데이 법칙에 대입하면 B = (E₀/c) cos(kz − ωt) ŷ 임을 알 수 있다. E와 B는 서로 수직이고, 둘 다 전파 방향에 수직이다. 이것을 **횡파(transverse wave)**라 한다. 음파가 종파(longitudinal wave, 진동 방향 = 전파 방향)인 것과 대조적이다.
에너지는 어떻게 전달되는가? 포인팅 벡터(Poynting vector) S = (1/μ₀) E×B 가 단위 면적당 에너지 플럭스(W/m²)를 나타낸다. 이것은 1단계에서 배운 전자기 에너지와 직결된다 — 에너지는 장(field) 속에 저장되고 파동을 통해 전달된다.
본 내용 3부 — 전송선 이론: 고주파에서 선이 달라 보이는 이유
이제 현실로 내려오자. 당신의 스마트폰 안에는 수십 억 Hz(GHz)로 작동하는 회로가 있다. 그런데 고등학교 물리에서 배우는 옴의 법칙 V = IR과 키르히호프 법칙은 이 주파수에서 작동하지 않는다. 왜냐하면 신호 파장이 회로 크기와 비슷해지거나 작아지기 때문이다. 5G 주파수 28 GHz에서 파장은 약 1cm — 스마트폰 PCB 회로 길이와 비슷하다. 이 상황에서 도선 자체가 파동의 '공간'이 된다.
**전송선(Transmission Line)**은 두 개의 도체가 평행하게 달리는 구조다 — 동축 케이블, 마이크로스트립, 평행 선 등이 모두 이에 해당한다. 이 구조를 분석하기 위해 미소 길이 Δz를 잘라 등가 회로로 표현하면: 단위 길이당 인덕턴스 L', 단위 길이당 캐패시턴스 C', 단위 길이당 저항 R', 단위 길이당 컨덕턴스 G'로 이루어진 무한한 사다리 회로가 된다. 이로부터 **전신방정식(Telegrapher's Equations)**이 유도된다.
[노트 기록] 전신방정식
∂V/∂z = −(R' + jωL') I ∂I/∂z = −(G' + jωC') V
무손실 선(R' = G' = 0)에서 이 두 식을 결합하면 또다시 파동 방정식이 등장한다. ∂²V/∂z² = −ω²L'C' V. 해는 V(z) = V⁺e⁻ʲᵝᶻ + V⁻eʲᵝᶻ 이며, 첫 항은 +z방향으로 진행하는 파, 둘째 항은 −z방향으로 반사되는 파다. 여기서 β = ω√(L'C')는 **위상 상수(phase constant)**다.
이 때 전압과 전류의 비율이 일정하게 유지되는데, 그 값을 **특성 임피던스(Characteristic Impedance)**라 한다.
[노트 기록] Z₀ = √(L'/C') [Ω]
이 값은 주파수와 무관하고, 오직 선의 기하학적 구조와 재료에 의해 결정된다. 표준 동축 케이블은 50Ω이다 — TV 안테나 케이블은 75Ω. 이 차이가 왜 중요한지는 곧 알게 된다.
선의 끝에 부하 임피던스 Z_L이 연결되어 있다고 하자. Z_L ≠ Z₀이면 어떤 일이 일어나는가? 파동이 경계에서 일부 반사된다. **반사계수(Reflection Coefficient)**는 다음과 같이 정의된다.
[노트 기록] Γ = (Z_L − Z₀)/(Z_L + Z₀)
Z_L = Z₀이면 Γ = 0 — 완전 흡수, 반사 없음. Z_L = 0 (단락)이면 Γ = −1 — 위상 반전되어 전반사. Z_L = ∞ (개방)이면 Γ = +1 — 그대로 전반사. 실제 전송선 설계에서 가장 중요한 목표 중 하나가 임피던스 매칭(Impedance Matching) — Γ를 0에 가깝게 만드는 것이다. 반사가 일어나면 정재파(standing wave)가 형성되고, 이는 **전압정재파비(VSWR, Voltage Standing Wave Ratio)**로 측정된다. VSWR = (1+|Γ|)/(1−|Γ|)이며, 이상적인 경우 VSWR = 1이다.
본 내용 4부 — 도파관: 파동을 가두는 금속 상자
전송선이 파동을 두 도체 사이로 보낸다면, **도파관(Waveguide)**은 파동을 금속 관(pipe) 안에 가두어 보낸다. 마이크로파 오븐, 레이더, 위성 통신 — 수십 GHz 이상의 주파수에서는 동축 케이블보다 도파관이 손실이 훨씬 적다.
직사각형 도파관을 생각하자. x방향 폭 a, y방향 높이 b. 금속 벽은 완전 도체(PEC, Perfect Electric Conductor)로 가정하면, 경계 조건은 금속 표면에서 접선 전기장 E_t = 0이다. 이 조건 하에서 파동 방정식을 풀면, 모든 주파수의 파가 전파되는 게 아니라 특정 **모드(mode)**만 존재한다는 것을 알 수 있다. 모드는 TE_mn (Transverse Electric — 전기장이 전파 방향에 수직) 또는 TM_mn (Transverse Magnetic)으로 분류되며, m과 n은 x, y방향의 반파장 수다.
가장 낮은 주파수에서 존재하는 **기본 모드(Dominant Mode)**는 TE₁₀이다. 이 모드의 **차단 주파수(Cutoff Frequency)**는 다음과 같다.
[노트 기록] f_c = c/(2a) [TE₁₀ 모드]
주파수가 f_c보다 낮으면 파동은 전파되지 않고 지수적으로 감쇠한다 — **에바네센트파(evanescent wave)**가 된다. 이 차단 특성은 도파관을 하이패스 필터(high-pass filter)로 만들며, 이것을 역으로 이용하는 것이 **공진기(Resonator)**다. 양 끝을 막은 도파관은 특정 주파수에서만 공진하는 **공동 공진기(Cavity Resonator)**가 된다. 마이크로파 오븐이 2.45 GHz에서 작동하는 것은 물(H₂O)의 극성 분자가 이 주파수에서 잘 가열되기 때문이고, 오븐 내부 금속 상자 자체가 공진기 역할을 한다.
본 내용 5부 — 안테나: 전자기파를 공간으로 쏘다
전송선이 파동을 안내하고 도파관이 파동을 가두는 반면, **안테나(Antenna)**는 파동을 자유 공간으로 방사(radiation)하거나 반대로 수신한다. 왜 가속하는 전하에서 전자기파가 방사되는가? 패러데이 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙을 상기하라 — 변화하는 전기장은 자기장을 만들고, 변화하는 자기장은 전기장을 만든다. 전하가 가속되면 전류가 변화하고, 변화하는 전류는 변화하는 자기장을 만들고, 이 변화는 전파되어 나간다. 이것이 안테나의 원리다.
가장 기본적인 안테나는 **헤르츠 다이폴(Hertzian Dipole)**이다. 길이 dℓ이 파장에 비해 매우 짧은 전류 요소 Idℓ을 가정하면, 원거리 장(far-field, r ≫ λ)에서 전기장은 다음과 같이 유도된다.
[노트 기록] 헤르츠 다이폴 원거리 전기장
E_θ ≈ j(η₀ I dℓ / 2λr) sin(θ) e^{−jkr}
여기서 η₀ = √(μ₀/ε₀) ≈ 377Ω은 **자유 공간 고유 임피던스(Intrinsic Impedance)**이고, θ는 안테나 축과 관측 방향 사이의 각도, r은 관측 거리다. 중요한 것은 sin(θ) 인자다 — 이것이 **방사 패턴(Radiation Pattern)**을 결정한다. θ = 90° (안테나에 수직인 방향)에서 가장 강하고, θ = 0° (안테나 축 방향)에서 0이다. 3D로 그리면 도넛(torus) 모양이 된다.
실제로 많이 쓰이는 것은 **반파장 다이폴(Half-Wave Dipole)**로, 길이가 λ/2인 안테나다. 방사 패턴은 헤르츠 다이폴과 비슷하지만 방향성이 더 강하다. 안테나의 성능 지표는 여러 가지인데, 지향성(Directivity) D는 특정 방향에서의 방사 강도가 등방성 안테나(isotropic antenna, 모든 방향으로 균일하게 방사)의 방사 강도에 비해 몇 배인가를 나타내고, 이득(Gain) G는 지향성에 효율(η_rad)을 곱한 것이다. G = η_rad × D. 반파장 다이폴의 지향성은 D ≈ 1.64 (2.15 dBi)이다.
두 안테나 사이에 전력이 얼마나 전달되는지는 **프리스 전송 방정식(Friis Transmission Equation)**으로 계산한다.
[노트 기록] 프리스 전송 방정식
P_r / P_t = G_t G_r (λ/4πr)²
P_t는 송신 전력, P_r은 수신 전력, G_t, G_r은 각 안테나의 이득, r은 거리, λ는 파장. (λ/4πr)² 항을 **자유 공간 경로 손실(Free-Space Path Loss)**이라 하며, 거리 제곱에 반비례한다. 5G의 28 GHz 주파수는 4G LTE의 1.8 GHz보다 파장이 짧아 경로 손실이 훨씬 크다. 이것이 5G 기지국이 촘촘하게 배치되어야 하는 핵심 이유다.
마이크로스트립 안테나(Microstrip Patch Antenna)는 PCB 위에 얇은 금속 패치를 인쇄한 형태로, 5G 스마트폰과 기지국에 광범위하게 쓰인다. 길이가 λ/2에 가까울 때 공진하며, 이 때 방사 저항이 피드라인의 특성 임피던스(보통 50Ω)와 매칭되도록 인셋 피드(Inset Feed) 등의 기법으로 임피던스 정합을 맞춘다.
프로젝트 — 예제 문제 (답 없음, 스스로 풀어볼 것)
아래 문제들은 위에서 배운 내용을 실제로 적용해보는 문제다. 각각 개념을 단순히 외우는 것이 아니라 추론하고, 단위를 추적하고, 물리적 의미를 해석하는 과정을 요구한다. 40분 분량으로 구성되어 있으며, 순서대로 풀되 막히면 위의 본문으로 돌아가라.
[예제 1 — 변위 전류의 탄생, 15분]
평행판 커패시터가 있다. 판 면적 A = 0.01 m², 판 간격 d = 1 mm, 유전율은 진공. 이 커패시터에 V(t) = V₀ sin(2π × 10⁶ t) [V]의 전압이 인가된다.
(a) 커패시터 내부 전기장 E(t)를 시간의 함수로 표현하라. 단위를 명시하라.
(b) 맥스웰이 도입한 변위 전류 밀도 J_d = ε₀ ∂E/∂t 를 계산하라. 실제 전류가 흐르지 않는 공간에서 이 값은 무엇을 의미하는가? 물리적 해석을 서술하라.
(c) 판 사이의 총 변위 전류 I_d를 계산하라. 이것이 외부 회로의 전도 전류와 같아야 하는 이유를 전하 보존 법칙으로 설명하라.
(d) 주파수를 10배로 높이면 변위 전류는 어떻게 변하는가? 이 사실이 고주파 회로 설계에서 왜 중요한지 서술하라.
[예제 2 — 전자기파의 에너지와 속도, 15분]
굴절률 n = 1.5인 유리 매질 안에서 전자기파가 전파된다. 진공에서 유전율은 ε₀, 투자율은 μ₀이며, 유리의 비유전율 ε_r = n² = 2.25, 비투자율 μ_r ≈ 1로 가정한다.
(a) 유리 속에서 전자기파의 위상 속도 v_p를 ε₀, μ₀, ε_r, μ_r로 표현하고, 숫자로 계산하라.
(b) 자유 공간 고유 임피던스 η₀ = √(μ₀/ε₀) ≈ 377Ω을 기억하자. 유리의 고유 임피던스 η는 얼마인가? 빛이 공기에서 유리로 입사할 때 반사계수 Γ를 계산하라 (수직 입사, 공기 η ≈ 377Ω 사용).
(c) 전기장 진폭이 E₀ = 1000 V/m인 평면파의 포인팅 벡터 크기(W/m²)를 계산하라. (힌트: 시간 평균 포인팅 벡터 ⟨S⟩ = E₀²/(2η))
(d) 이 전력 밀도는 지표면에 도달하는 태양 복사 조도(solar irradiance) ≈ 1361 W/m²과 비교하면 어떠한가? 이 관계로부터 전기장 진폭으로 태양광의 E₀를 추정하라.
[예제 3 — 전송선 임피던스 매칭과 반사, 25분]
Z₀ = 50Ω 동축 케이블이 있다. 이 케이블을 통해 2.4 GHz 신호를 전송한다.
(a) 다음 세 가지 부하가 연결될 때 각각의 반사계수 Γ와 VSWR을 계산하라: ① Z_L = 50Ω (매칭), ② Z_L = 100Ω (불매칭), ③ Z_L = 0Ω (단락).
(b) Z_L = 100 + j50 Ω의 복소 임피던스 부하가 연결된다. |Γ|를 계산하라. 이 때 반사 전력비(|Γ|²)는 얼마인가? 즉, 입사 전력의 몇 %가 반사되는가?
(c) λ/4 변환기(Quarter-Wave Transformer)를 이용해 Z_L = 100Ω을 Z₀ = 50Ω에 매칭시키려 한다. 필요한 변환기의 특성 임피던스 Z_T를 유도하라. (힌트: λ/4 선로의 입력 임피던스는 Z_in = Z_T²/Z_L)
(d) 2.4 GHz에서 λ/4 선로의 물리적 길이는 얼마인가? 비유전율 ε_r = 2.2인 마이크로스트립 기판을 사용할 때, 기판 내부에서의 파장과 물리적 길이를 계산하라. (힌트: 기판 내 파장 λ_eff = λ₀/√ε_r, λ₀는 진공 파장)
(e) (d)에서 계산한 결과를 실제 5G/WiFi 기기의 크기(수 cm)와 비교하라. 어떤 결론을 내릴 수 있는가?
[예제 4 — 안테나 설계 종합, 20분]
5G 마이크로스트립 패치 안테나를 설계한다. 동작 주파수 f = 28 GHz, 기판 비유전율 ε_r = 2.2.
(a) 마이크로스트립 패치 안테나의 공진 길이는 대략 L ≈ λ_eff/2이다. 28 GHz에서 필요한 패치 길이 L을 계산하라.
(b) 이 안테나의 지향성이 D = 6 dBi라고 할 때, 선형 스케일(배수)로 D 값은 얼마인가? (힌트: dBi → 배수 변환: 10^(dBi/10))
(c) 송신 안테나(G_t = 6 dBi, P_t = 10 mW)가 200m 거리의 수신 안테나(G_r = 6 dBi)에 전력을 보낸다. 프리스 방정식을 이용해 수신 전력 P_r을 dBm 단위로 계산하라. (힌트: dBm = 10 log₁₀(P[mW]))
(d) 같은 조건에서 주파수를 4G의 1.8 GHz로 바꾸면 수신 전력은 어떻게 달라지는가? 28 GHz와 1.8 GHz의 경로 손실 차이(dB)를 계산하라. 이 숫자가 통신 공학자에게 의미하는 바를 서술하라.
(e) 배열 안테나(Phased Array Antenna)에서 N개의 동일 안테나를 사용하면 이득이 N배(+3 dB per doubling) 증가한다. 단일 안테나 대비 10 dB 이득 향상을 위해 필요한 안테나 소자 수는 몇 개인가?
[평가 기준 안내]
이 문제들을 풀고 나서 스스로 체크해볼 것: ① 수식을 쓸 때 단위를 빠짐없이 추적했는가, ② 계산 결과를 실제 물리량과 비교해 합리적인지 검토했는가, ③ 각 결과의 물리적 의미를 한 문장으로 서술할 수 있는가. 이 세 가지를 만족하면 2단계 핵심 학습 목표의 80%는 달성한 것이다. 나머지 20% — 즉 임피던스 매칭 회로 실제 구현, Smith Chart 사용법, FEKO/CST 같은 시뮬레이션 툴 활용 — 은 본 프로젝트의 설계 과제에서 다루게 된다.
참고문헌: David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics (2nd ed., Addison-Wesley, 1989); Constantine A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design (4th ed., Wiley, 2016); David M. Pozar, Microwave Engineering (4th ed., Wiley, 2011); James C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865).