2단계: 편미분방정식 — 공간과 시간이 함께 춤출 때

1부. 이론적 기초: ODE의 세계를 넘어서

1단계에서 너는 상미분방정식(ODE) 을 배웠다. ODE는 하나의 독립변수, 즉 오직 시간 $t$ 만을 다뤘다. 로켓이 수직으로 올라가는 속도 $v (t)$ , 회로에 흐르는 전류 $i (t)$ 처럼 모든 것이 시간이라는 단 하나의 실에 꿰여 있었다. 그런데 현실의 물리 세계는 훨씬 더 복잡한 질문을 던진다. 기타 줄은 위치마다, 그리고 시간마다 다르게 진동한다. CPU 칩은 특정 지점에서 특히 뜨겁고, 그 열은 옆으로도 퍼지고 시간이 지남에 따라서도 변한다. 이렇게 공간과 시간이 동시에 얽혀 있는 현상을 기술하려면 두 개 이상의 독립변수를 가진 방정식이 필요하고, 그것이 바로 편미분방정식(Partial Differential Equation, PDE)이다.

편미분(Partial Derivative) 이 무엇인지부터 직관적으로 이해해 보자. 온도 함수 $u (x, t)$ 를 생각해 보라. 이것은 위치 $x$ 와 시간 $t$ , 두 개의 입력을 받는다. 여기서 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 는 "시간을 잠깐 얼려 두고, 공간만 조금씩 움직일 때 온도가 얼마나 빠르게 바뀌는가?" 를 의미한다. 반대로 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 는 "위치를 고정한 채, 시계만 돌릴 때 온도가 얼마나 빠르게 변하는가?" 다. 편미분은 나머지 변수들을 상수처럼 취급하며 하나의 변수에만 집중하는 미분이다. 1단계에서 배운 일반 미분이 일직선 길의 기울기였다면, 편미분은 산 표면 위 특정 방향의 경사면 기울기에 해당한다.

왜 고1인 네가 이것을 배워야 하는가? 반도체 칩의 설계, 통신 신호의 전송, 지진파 분석, 기후 모델링, 심지어 금융 공학의 블랙-숄즈 방정식까지 — 현대 공학과 과학의 핵심 문제들이 전부 PDE의 언어로 쓰여 있기 때문이다. Erwin Kreyszig의 『Advanced Engineering Mathematics』는 PDE를 "물리 법칙이 수학적으로 결정화된 형태"라고 표현한다. 너는 지금 자연의 언어를 읽는 법을 배우는 것이다.

[노트 기록] 편미분 표기법 정리: $u_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}$ , $u_{t} = \frac{\partial u}{\partial t}$ , $u_{xx} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ . 이 짧은 표기법은 앞으로 수식을 쓸 때 엄청나게 많이 쓰게 된다. 손에 익혀 두어라.

2부. 세 개의 지배 방정식

PDE의 세계에서 가장 먼저 만나는 세 개의 방정식은 물리학의 가장 근본적인 현상 세 가지를 각각 기술한다. 이것들을 처음 보면 그냥 복잡한 수식처럼 보이겠지만, 각각이 담고 있는 이야기를 이해하면 완전히 다르게 보인다.

첫 번째는 열전도 방정식(Heat Equation)이다. 18세기 프랑스 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)가 열의 흐름을 연구하다가 1822년 『열의 해석적 이론(Théorie analytique de la chaleur)』에서 제시한 방정식으로,

$\frac{\partial u}{\partial t} = α^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

로 쓴다. 여기서 $u (x, t)$ 는 위치 $x$ , 시간 $t$ 에서의 온도이고, $α^{2}$ 는 해당 물질의 열확산율(thermal diffusivity) 로 단위는 $m^{2} / s$ 다. 이 방정식이 말하는 것은 무엇일까? 왼쪽 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 는 한 지점의 온도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내고, 오른쪽 $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ 는 공간적 온도 곡률, 즉 그 지점이 주변보다 얼마나 볼록하게 뜨거운지를 나타낸다. 방정식의 핵심 메시지: 온도의 시간적 변화율은 공간적 온도 곡률에 비례한다. 뜨거운 봉우리가 있으면 ( $u_{xx} < 0$ ) 온도가 내려가고, 차가운 골짜기가 있으면 ( $u_{xx} > 0$ ) 온도가 올라간다. 열은 퍼져서 평탄해지려는 경향이 있다.

두 번째는 파동 방정식(Wave Equation)이다. 기타 줄이 진동하거나 음파가 공기 중에 퍼지거나 전자기파가 전파될 때 나타난다.

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

열 방정식과 결정적으로 다른 점이 보이는가? 시간에 대한 미분이 1차에서 2차로 바뀌었다. 이것은 엄청난 차이를 만들어 낸다. 열 방정식에서 열은 한번 퍼지면 다시 모이지 않는다(비가역적). 반면 파동 방정식은 시간적으로 가역적이다 — 파동은 퍼졌다가 다시 반사되어 돌아온다. $c$ 는 파동의 전파 속도(propagation speed)다. 기타 줄의 경우 $c = T / μ$ 인데, $T$ 는 장력(tension), $μ$ 는 선밀도(linear mass density)다.

세 번째는 라플라스 방정식(Laplace Equation)이다.

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0$

혹은 $\nabla^{2} u = 0$ 으로 쓴다. 여기서 $\nabla^{2}$ 를 라플라시안(Laplacian) 이라고 부른다. 시간 변수가 없다! 이 방정식은 더 이상 변하지 않는 정상 상태(steady state) 를 기술한다. 열이 충분히 오랜 시간 흐르면 어느 순간 온도 분포가 더 이상 바뀌지 않는다. 그때 $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ 이 되고, 열 방정식은 자동으로 라플라스 방정식이 된다. 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화 함수(harmonic function) 라고 부르며, 이는 "어떤 점의 값이 그 주위의 평균값과 같다"는 평균값 정리를 만족한다.

[노트 기록] 세 방정식을 직접 나란히 써 두고, 각 방정식이 어떤 물리 현상을 기술하는지, 그리고 시간 미분의 차수가 몇 차인지 메모하라. 이 차이가 물리적으로 무슨 의미인지 스스로 한 문장으로 설명해 보아라.

3부. 변수 분리법 — PDE를 두 개의 ODE로 쪼개기

이제 가장 중요한 테크닉인 변수 분리법(Separation of Variables) 을 배울 차례다. 핵심 아이디어는 놀라울 정도로 단순하다: 혹시 공간과 시간이 독립적으로 작동하는 것이 아닐까? 즉,

$u (x, t) = X (x) \cdot T (t)$

라고 가정해 보는 것이다. $u$ 가 $X$ 와 $T$ 의 곱으로 표현된다고 가정하는 것이 핵심이다. 이것은 강력한 가정이며, 당연히 모든 PDE에 통하지는 않는다. 하지만 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식처럼 선형이고 경계 조건이 단순한 경우에 마법처럼 작동한다.

열 방정식에 이 가정을 대입해 보자. $u_{t} = α^{2} u_{xx}$ 에 $u = X (x) T (t)$ 를 넣으면,

$X (x) T^{'} (t) = α^{2} X^{''} (x) T (t)$

양변을 $X (x) T (t)$ 로 나누면,

$\frac{T ^{'} ( t )}{α ^{2} T ( t )} = \frac{X ^{''} ( x )}{X ( x )}$

여기서 결정적인 논리가 등장한다. 왼쪽은 오직 $t$ 만의 함수이고, 오른쪽은 오직 $x$ 만의 함수다. 이 두 쪽이 항상 같으려면 어떤 조건이 필요한가? 잠깐 생각해 보라. 답은: 둘 다 같은 상수여야 한다. 왜냐하면 $x$ 를 바꿔도 왼쪽은 변하지 않고, $t$ 를 바꿔도 오른쪽은 변하지 않으니, 이 공통값은 어떤 변수에도 의존하지 않는 상수일 수밖에 없다. 이 상수를 분리 상수(separation constant) 라 하고 관례적으로 $- λ$ 로 놓는다 (왜 음수인지는 곧 알게 된다).

그러면 PDE 하나가 두 개의 ODE로 분리된다:

$X^{''} (x) + λ X (x) = 0$ $T^{'} (t) + α^{2} λ T (t) = 0$

1단계에서 배운 ODE 해법이 바로 여기서 쓰인다! 아래의 경계 조건을 생각해 보자: 길이 $L$ 인 금속 막대 양 끝이 고정되어 $u (0, t) = u (L, t) = 0$ . 이를 $X$ 에 대입하면 $X (0) = 0$ , $X (L) = 0$ 이다.

$X^{''} + λ X = 0$ 의 일반해는 $λ$ 의 부호에 따라 달라진다. $λ < 0$ 이면 지수함수 해가 나오고, 경계 조건을 만족시키기 불가능하다 (직접 확인해 보라). $λ = 0$ 이면 $X = a x + b$ 인데, $X (0) = 0$ , $X (L) = 0$ 을 만족하면 trivial한 해 $X = 0$ 뿐이다. 비로소 $λ > 0$ 일 때 해가 $X (x) = A cos (λ x) + B sin (λ x)$ 이고, $X (0) = 0$ 에서 $A = 0$ , $X (L) = 0$ 에서 $B sin (λ L) = 0$ 이므로, $B \neq = 0$ 이려면 $λ L = nπ$ , 즉

$λ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, n = 1, 2, 3, \dots$

이 값들이 바로 고유값(Eigenvalue) 이고, 대응하는 $X_{n} (x) = sin (\frac{nπ x}{L})$ 이 고유함수(Eigenfunction) 다. 분리 상수 $λ$ 를 음수로 설정했던 이유가 이제 보인다: 양수 $λ$ 가 물리적으로 의미 있는 진동 해를 만들기 때문에, $- λ$ 로 쓰면 나중에 부호 혼란이 생기지 않는다.

$T^{'} (t) + α^{2} λ_{n} T (t) = 0$ 의 해는 $T_{n} (t) = e^{- α^{2} λ_{n} t} = e^{- α^{2} (nπ / L)^{2} t}$ . 따라서 각각의 $n$ 에 대응하는 해는

$u_{n} (x, t) = sin (\frac{nπ x}{L}) e^{- α^{2} (nπ / L)^{2} t}$

이다. 이 각각을 모드(mode) 라 부른다.

[노트 기록] 변수 분리법 절차 를 3단계로 직접 써라: ① $u = X (x) T (t)$ 가정, ② 분리 상수 $- λ$ 도입하여 두 ODE로 분리, ③ 경계 조건 적용하여 고유값 $λ_{n}$ 과 고유함수 $X_{n} (x)$ 결정. 그리고 " $λ$ 가 음수일 때 왜 경계 조건을 만족 못 하는지" 스스로 대입해서 확인해 보라.

4부. 푸리에 급수 — 무한의 합으로 초기 조건을 표현하다

여러 개의 모드 해 $u_{n}$ 이 있다면, 중첩의 원리(Superposition Principle) 에 의해 이들의 합도 해가 된다. 열 방정식이 선형 방정식이기 때문에 가능하다.

$u (x, t) = n = 1 \sum \infty B_{n} sin (\frac{nπ x}{L}) e^{- α^{2} (nπ / L)^{2} t}$

이제 마지막 조건인 초기 조건(Initial Condition) $u (x, 0) = f (x)$ 를 적용해야 한다. $t = 0$ 을 대입하면,

$f (x) = n = 1 \sum \infty B_{n} sin (\frac{nπ x}{L})$

이 등식이 바로 푸리에 급수(Fourier Series) 다! 임의의 함수 $f (x)$ 를 사인 함수들의 무한 합으로 표현하는 것이다. 이것은 푸리에가 처음 제안했을 때 수학자들에게 엄청난 충격을 주었다. "불연속 함수도 무한히 많은 부드러운 사인 함수의 합으로 쓸 수 있다고?" 실제로 라그랑주를 비롯한 당대 수학자들이 이 주장을 믿지 않았다.

$B_{n}$ 을 어떻게 결정하는가? 핵심은 직교성(Orthogonality) 이다. 서로 다른 두 사인 함수는 $[0, L]$ 에서 내적이 0이다:

$\int_{0}^{L} sin (\frac{mπ x}{L}) sin (\frac{nπ x}{L}) d x = {0 L /2 m \neq = n m = n$

이것은 벡터의 직교성과 정확히 유사하다. $\overset{x}{^} \cdot \overset{y}{^} = 0$ , $\overset{x}{^} \cdot \overset{x}{^} = 1$ 처럼. 함수를 벡터처럼 다루는 발상이다. 이 내적을 이용하면 양변에 $sin (\frac{mπ x}{L})$ 를 곱하고 $[0, L]$ 에서 적분할 때, 오른쪽에서 $n \neq = m$ 인 항이 모두 사라지고 $n = m$ 인 항만 남아서:

$B_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin (\frac{nπ x}{L}) d x$

라는 명쾌한 공식을 얻는다. 이것이 푸리에 계수(Fourier coefficient)다. 함수 $f (x)$ 와 $n$ 번째 사인 함수가 얼마나 "닮았는지"를 수치로 나타낸다. Walter A. Strauss의 『Partial Differential Equations: An Introduction』(2판)은 이 계수를 "함수를 무한 차원 공간에서의 벡터로 볼 때의 좌표"라고 표현한다.

일반적인 푸리에 급수 (사인과 코사인 모두 포함)는 $[- L, L]$ 에서 주기 $2 L$ 인 함수에 대해:

$f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty [a_{n} cos (\frac{nπ x}{L}) + b_{n} sin (\frac{nπ x}{L})]$

계수는 $a_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) cos \frac{nπ x}{L} d x$ , $b_{n} = \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ . 직교성이라는 동일한 원리로 도출된다.

[노트 기록] 직교성 적분 $\int_{0}^{L} sin (mπ x / L) sin (nπ x / L) d x$ 를 삼각함수 곱셈 공식 $sin A sin B = \frac{1}{2} [cos (A - B) - cos (A + B)]$ 를 이용하여 $m \neq = n$ 인 경우와 $m = n$ 인 경우 각각 직접 계산해 보라. 이 직교성이 성립한다는 사실을 직접 손으로 확인하는 것이 핵심이다.

5부. 고유함수 전개와 스펙트럼 분석

고유함수 전개(Eigenfunction Expansion) 는 변수 분리법과 푸리에 급수를 통합하는 더 일반적인 언어다. 방정식 $X^{''} + λ X = 0$ 은 경계 조건과 함께 Sturm-Liouville 문제의 특수한 경우다. Sturm-Liouville 이론(1830년대)은 이러한 유형의 미분 연산자가 반드시 무한히 많은 실수 고유값 $λ_{1} < λ_{2} < λ_{3} < \dots$ 와 대응하는 직교 고유함수 $ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, \dots$ 를 갖는다고 보장한다. 이 정리는 PDE 해법의 존재성을 수학적으로 뒷받침하는 기초다.

임의의 함수 $f (x)$ 를 이 고유함수들로 전개하면:

$f (x) = n = 1 \sum \infty c_{n} ϕ_{n} (x), c_{n} = \frac{⟨ f , ϕ _{n} ⟩}{⟨ ϕ _{n} , ϕ _{n} ⟩}$

여기서 $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) w (x) d x$ 는 가중 내적(weighted inner product)이며 $w (x)$ 는 가중 함수다. Sturm-Liouville 표준형에서는 $w (x)$ 가 중요한 역할을 하지만, 우리가 주로 다루는 경우에는 $w = 1$ 이다.

이제 스펙트럼 분석(Spectral Analysis) 이다. 계수 $c_{n}$ 또는 $B_{n}$ 들의 집합 ${∣ c_{n} ∣^{2}}$ 을 파워 스펙트럼(Power Spectrum) 이라 한다. 1단계에서 배운 라플라스 변환이 시간 신호를 복소수 주파수 영역으로 변환했다면, 푸리에 전개는 공간 함수를 공간 주파수(spatial frequency) 영역으로 변환한다. $n$ 번째 고유값 $λ_{n} = (nπ / L)^{2}$ 은 공간 주파수의 제곱에 해당한다. $n$ 이 클수록 더 빠르게 진동하는 성분이고, 열 방정식에서 $e^{- α^{2} (nπ / L)^{2} t}$ 를 보면 고주파 성분일수록 더 빠르게 감쇠(decay) 한다는 것을 알 수 있다. 이것이 바로 물리적으로 열이 퍼지면서 날카로운 온도 차이(고주파 공간 성분)가 먼저 사라지는 이유다.

파동 방정식에서 변수 분리를 하면 $T^{''} + c^{2} λ_{n} T = 0$ 이 되어 $T_{n} (t) = A_{n} cos (ω_{n} t) + B_{n} sin (ω_{n} t)$ , $ω_{n} = c \cdot nπ / L$ 이다. 이 $ω_{n}$ 들이 바로 기타 줄의 고유 진동수(natural frequency) 또는 배음(harmonic) 이다. $n = 1$ 은 기본음(fundamental), $n = 2, 3, \dots$ 은 배음이다. 기타 소리가 풍부하게 들리는 이유는 여러 $n$ 에 해당하는 모드가 동시에 진동하고 있기 때문이다. 스펙트럼 분석은 어떤 주파수 성분이 얼마나 강하게 존재하는지를 분해해서 보여 준다.

[노트 기록] 열 방정식과 파동 방정식에서 변수 분리 후 나오는 $T (t)$ 의 형태를 비교해서 써라. 하나는 지수 감쇠, 하나는 삼각함수 진동이다. 이 차이가 물리적으로 무엇을 뜻하는지, 그리고 이것이 시간 미분이 1차냐 2차냐의 차이와 어떻게 연결되는지 스스로 설명해 보라.

6부. 라플라스 방정식과 경계값 문제

열 방정식에서 $\frac{\partial u}{\partial t} \to 0$ 이면 라플라스 방정식 $\nabla^{2} u = 0$ 에 도달한다고 했다. 이것은 정상 상태 온도 분포를 기술한다. 직사각형 영역 $0 \leq x \leq a$ , $0 \leq y \leq b$ 에서 세 면이 $0$ 도, 한 면이 임의의 온도 분포 $f (x)$ 로 유지될 때의 안쪽 온도 분포를 구하는 것이 전형적인 문제다.

$u (x, y) = X (x) Y (y)$ 로 분리하면, $X^{''} / X = - Y^{''} / Y = - λ$ (또는 $+ λ$ , 경계 조건에 따라 부호를 결정). 주의할 점은 $y$ 방향으로 감쇠하는 해 $sinh$ 나 $e^{- n y}$ 가 나온다는 것이다. 이 경우 삼각함수 직교성으로 계수를 결정하는 과정은 열 방정식과 동일하다. 라플라스 방정식의 해는 조화 함수로서 최대, 최솟값이 항상 경계에서만 달성된다는 최대 원리(Maximum Principle) 를 만족한다. 이것은 엔지니어링적으로 "정상 상태에서 내부의 핫스팟은 있을 수 없다"는 중요한 결론이다.

7부. 프로젝트 — 반도체 열 소산 설계

이제 배운 것을 실전에 적용할 시간이다. 아래 문제들은 반도체 칩의 열관리 시뮬레이션을 위한 것이다. 정답은 주지 않는다. 40분 동안 혼자 씨름해 보라. 막힐 때마다 위의 설명을 다시 읽으면서 스스로 돌파구를 찾아라.

문제 1 — 열 확산 모드 분해 (12분 목표)

길이 $L = 0.01 m$ (1 cm) 인 실리콘 칩의 1차원 열전도를 모델링한다. 실리콘의 열확산율은 $α^{2} = 8.8 \times 1 0^{- 5} m^{2} / s$ 다. 양 끝 경계 조건은 $u (0, t) = u (L, t) = 0$ 이고, 초기 온도 분포는 $u (x, 0) = f (x)$ 다. 다음 물음에 답하라.

(a) 변수 분리법을 처음부터 적용하여 일반해를 유도하라. 풀이의 모든 단계를 설명하라.

(b) 각 모드 $n$ 의 시간 감쇠 상수(time constant) $τ_{n}$ 을 $n$ , $α$ , $L$ 로 표현하라. 즉 $e^{- t / τ_{n}}$ 형태로 쓸 때 $τ_{n}$ 이 무엇인가?

(c) $n = 1, 2, 5, 10$ 일 때 각 $τ_{n}$ 을 수치로 계산하라. 고차 모드( $n$ 이 큰 경우)가 저차 모드보다 얼마나 빠르게 사라지는가? 이것이 반도체 열 설계에서 어떤 의미를 갖는가?

문제 2 — 초기 조건 전개 (15분 목표)

초기 온도 분포가 다음과 같이 주어진다 ( $L = 0.01 m$ ):

$f (x) = {100 x / L 100 (1 - x / L) 0 \leq x \leq L /2 L /2 < x \leq L$

이것은 가운데가 100도이고 양 끝이 0도인 삼각형 형태의 온도 분포다.

(a) 이 함수의 푸리에 사인 급수를 구하라. 즉 $B_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ 를 계산하라. 구간 $[0, L /2]$ 와 $[L /2, L]$ 을 나눠서 적분하라.

(b) 계산한 결과에서 $B_{n}$ 이 $n$ 이 짝수일 때와 홀수일 때 어떻게 다른가? 이 패턴을 $f (x)$ 의 기하학적 대칭성과 연결하여 설명하라.

(c) 완전한 해 $u (x, t) = \sum B_{n} sin \frac{nπ x}{L} e^{- α^{2} (nπ / L)^{2} t}$ 를 쓰고, $t = 0.001$ s 와 $t = 0.01$ s 에서 $x = L /2$ 지점의 온도를 첫 4개 비영(non-zero) 항만 사용하여 수치로 계산하라.

문제 3 — 스펙트럼 분석과 고주파 감쇠 (13분 목표)

열 방정식의 해에서 스펙트럼을 분석한다. 문제 2의 결과를 사용한다.

(a) $∣ B_{n} ∣^{2}$ 을 $n$ 의 함수로 처음 10개 항에 대해 계산하고, 표로 정리하라. 이것이 초기 온도 분포의 공간 주파수 파워 스펙트럼(Power Spectrum) 이다.

(b) 가장 지배적인 (가장 큰 $∣ B_{n} ∣^{2}$ 를 가진) 모드는 몇 번 $n$ 인가? 이것이 삼각형 형태의 $f (x)$ 와 어떻게 연결되는가?

(c) $t = 0$ , $t = 0.001 s$ , $t = 0.005 s$ 에서 각 모드의 기여도 $∣ B_{n} ∣^{2} e^{- 2 α^{2} (nπ / L)^{2} t}$ 를 계산하라. 시간이 지남에 따라 스펙트럼이 어떻게 변하는가? "열이 퍼진다"는 것이 주파수 영역에서 어떻게 보이는가를 물리적 언어로 서술하라.

문제 4 (심화) — 정상 상태: 라플라스 방정식 (보너스)

위 칩을 2차원으로 확장한다. 직사각형 영역 $0 \leq x \leq L_{x}$ , $0 \leq y \leq L_{y}$ ( $L_{x} = 0.02 m$ , $L_{y} = 0.01 m$ )에서 정상 상태 온도 분포를 구한다. 경계 조건: $u (x, 0) = 0$ , $u (x, L_{y}) = 0$ , $u (0, y) = 0$ , $u (L_{x}, y) = g (y) = 50 sin (π y / L_{y})$ .

(a) $\nabla^{2} u = 0$ 에 변수 분리법 $u = X (x) Y (y)$ 를 적용하라. 분리 상수의 부호를 어떻게 정해야 하는지 경계 조건으로부터 결정하라.

(b) 이 경우 $x$ 방향으로는 $sinh$ 함수가 나온다. 왜 $sin$ 이 아니라 $sinh$ 인가? Sturm-Liouville 문제에서의 경계 조건이 어떻게 이것을 결정하는지 설명하라.

(c) 초기 조건 $g (y) = 50 sin (π y / L_{y})$ 가 이미 하나의 고유함수 형태라는 사실을 이용하여 완전한 해를 구하라.

[평가 기준] 수식 유도 전개(40점): 변수 분리법의 논리적 흐름, 경계 조건 적용의 정확성, 푸리에 계수 계산의 완결성. 시뮬레이터 구동(40점): 수치 계산의 정확성, 스펙트럼 분석의 물리적 해석. 기술 세미나(20점): "왜 고주파 모드가 먼저 사라지는가?"를 처음 배우는 사람에게 자신의 언어로 설명할 수 있는가.

미분방정식 및 동역학 해석