1단계: 미분방정식과 동역학 해석 — 시간을 방정식으로 포획하다

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서막 — 궤적이 하늘을 지배했다

1957년 소련이 쏘아올린 스푸트니크는 지구를 돌았고, 1969년 인류는 달 위에 발자국을 찍었다. 이 모든 것의 공통된 밑바탕은 하나의 질문이다: "지금 이 물체는 어디 있고, 다음 순간 어디로 향하는가?" 뉴턴이 $F=ma$를 쓴 순간, 그것은 단순한 공식이 아니라 이미 2계 미분방정식이었다. 가속도 $a$는 위치의 두 번째 미분이기 때문이다. 지금부터 우리가 배우는 것은 바로 그 언어—자연이 스스로를 기술하는 언어—다.

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I. 이론적 기초 — 변화를 방정식에 담기

미분방정식이란 무엇인가: 해가 "함수"인 방정식

고등학교에서 우리는 $x^2-5x+6=0$을 풀면서 **수(number)**를 구했다. 하지만 자연은 종종 이렇게 말한다: "이 물리량의 변화율이 그 물리량 자체에 비례한다." 방사성 물질이 붕괴하는 속도는 남아있는 물질의 양에 비례하므로, 수식으로 쓰면 $\frac{dN}{dt}=-\lambda N$이 된다. 여기서 우리가 구해야 할 미지수는 숫자가 아니라 시간에 따라 달라지는 함수 $N(t)$ 자체다. 이것이 미분방정식의 핵심적 차이점이다: 미분방정식의 해는 함수다. 조금 더 구체적으로 말하면, 미분방정식이란 미지함수와 그것의 도함수들 사이의 관계식이다.

분류: 어떤 방정식과 싸우고 있는가

미분방정식을 처음 마주하면 가장 먼저 해야 할 일은 분류다—어떤 무기를 꺼낼지 결정하는 것이다. 변수가 하나(예: 시간 $t$)인 **상미분방정식(ODE, Ordinary Differential Equation)**과, 공간·시간처럼 변수가 둘 이상인 **편미분방정식(PDE)**으로 먼저 나뉜다. 이번 단계는 ODE만 다룬다. 다음으로 **계수(order)**를 확인한다—등장하는 도함수의 가장 높은 차수다. $\frac{dy}{dx}=xy$는 1계, $y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=0$은 2계다. 마지막으로 **선형성(linearity)**을 따진다. 미지함수 $y$와 그 도함수들이 모두 1차로만 등장하고 서로 곱해지지 않으면 선형(linear)이다. $(y^{\prime }{)}^2+y=0$은 비선형이다. 선형 ODE는 해석적으로 풀기 훨씬 수월하므로, 이번 단계에서는 선형 ODE에 집중한다.

[노트 기록] 분류 체계: ODE / PDE → 계수(1계, 2계, …) → 선형 / 비선형 → 동차(homogeneous, 우변 = 0) / 비동차(non-homogeneous, 우변 ≠ 0)

초기값 문제(IVP)와 해의 유일성

자연에서 물리 현상은 늘 "초기 상태"를 갖는다. 로켓은 $t=0$에 지상에서 정지해 있고, 진자는 특정 각도에서 놓인다. ODE를 풀면 적분 상수 $C$가 등장하는데, 이 상수를 고정하는 것이 **초기 조건(initial condition)**이다. 그런데 풀기 전에 한 가지 중요한 선행 질문이 있다: "과연 해가 존재하는가? 그리고 유일한가?" **피카르-린델뢰프 정리(Picard-Lindelöf Theorem)**는 $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$에서 $f$와 $\partial f/\partial y$가 연속이라면 해가 존재하고 유일하다고 보장한다(Coddington & Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, 1955). 이것은 단순한 수학적 형식이 아니다. 물리적으로는 "현재 상태를 완벽히 알면 미래가 결정론적으로 결정된다"는 고전역학의 세계관 자체를 수학적으로 정당화하는 것이다.

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II. 1계 ODE 해석적 해법

변수 분리법: 미적분의 역방향 여행

1계 ODE 중 가장 우아한 형태는 **변수 분리형(separable)**이다. $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$처럼 우변이 $x$만의 함수와 $y$만의 함수의 곱으로 쓰일 때, 양변을 분리하여 각각 적분한다: $\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$. 수학적으로 이것은 연쇄 법칙(chain rule)의 역방향 적용이다. $\frac{dy}{dx}$를 마치 분수처럼 $dy$와 $dx$로 분리하는 것은 미분 형식(differential form) 개념으로 엄밀히 정당화된다.

예를 들어 $\frac{dy}{dx}=xy$를 풀어보자. $\frac{1}{y}dy=xdx$로 분리하고 양변을 적분하면 $\ln |y|=\frac{x^2}{2}+C$, 따라서 $y=A{e}^{x^2/2}$를 얻는다. 물리적으로 중요한 예로, 방사성 붕괴 $\frac{dN}{dt}=-\lambda N$을 분리하면 $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$가 나오고, 여기서 반감기(half-life) $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$가 도출된다. 방사성 탄소 연대 측정(${}^{14}$C dating)이 이 방정식에 기반한다.

[노트 기록] 변수 분리법 절차: ① 우변이 $f(x)\cdot g(y)$ 꼴인지 확인 → ② $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$로 분리 → ③ 양변 적분 → ④ 초기조건 대입하여 $C$ 결정

선형 1계 ODE와 적분인자법

변수 분리가 되지 않는 중요한 형태가 있다. 표준형 선형 1계 ODE는 다음과 같다:

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

핵심 아이디어는 "좌변을 어떤 함수의 완전 도함수로 만들자"는 것이다. 어떤 함수 $\mu (x)$를 양변에 곱하면 $\mu y^{\prime }+\mu Py=\mu Q$가 되는데, 좌변이 $\frac{d}{dx}[\mu y]=\mu y^{\prime }+{\mu }^{\prime }y$와 같아지려면 ${\mu }^{\prime }=\mu P$, 즉 $\mu =e^{\int P(x)dx}$ 여야 한다. 이 $\mu$를 **적분인자(integrating factor)**라 한다. 왜 이것이 작동하는지—$\frac{d}{dx}[\mu y]$를 직접 전개해서 확인해보라. 납득이 되어야 암기 없이 재현할 수 있다. 적분인자를 곱하면 $\frac{d}{dx}[\mu y]=\mu Q$가 되어, 양변을 적분하면:

$$\mu (x)\cdot y=\int \mu (x)Q(x)dx+C,\therefore y=\frac{1}{\mu (x)}\left[\int \mu (x)Q(x)dx+C\right]$$

[노트 기록] 적분인자법 절차: 표준형 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ → $\mu =e^{\int Pdx}$ → $(\mu y{)}^{\prime }=\mu Q$ → 양변 적분 → 초기조건으로 $C$ 결정

물리적 응용의 핵심 예가 바로 공기 저항을 받는 낙하 운동이다. 저항력이 속도에 선형으로 비례($F_d=kv$)한다면, 운동방정식은 $m\frac{dv}{dt}=mg-kv$, 즉 $\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g$다. 이것은 $P=k/m$, $Q=g$인 선형 1계 ODE다. 풀면 $v(t)=\frac{mg}{k}\left(1-e^{-kt/m}\right)$. 시간이 충분히 지나면($t\to \infty$) $v\to \frac{mg}{k}$가 된다. 이것이 **종단 속도(terminal velocity)**다. 흥미롭게도 뉴턴의 냉각 법칙 $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{env}})$와 방사성 붕괴가 구조적으로 동일한 방정식이라는 것을 눈치챘는가? 서로 다른 현상이지만 같은 수학적 형태를 공유한다—이것이 수학이 물리를 통합하는 방식이다.

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III. 2계 ODE 해석적 해법

왜 2계가 자연을 지배하는가

뉴턴의 $F=ma$를 다시 보자. 가속도 $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$이므로 이것은 본질적으로 2계 ODE다. 대부분의 고전역학—용수철, 진자, 전기 회로, 로켓 운동—이 2계 ODE로 귀결된다. 1계가 "속도"의 언어라면, 2계는 "가속도"의 언어이고, 자연은 가속도로 쓰여 있다.

특성방정식의 마법

가장 기본적인 2계 선형 동차 ODE를 보자:

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0(a,b,c\text{는 상수})$$

어떤 함수를 시도해야 할까? 잠깐—미분해도 형태가 변하지 않는 함수는 무엇인가? 바로 $e^{rt}$다. $\frac{d}{dt}{e}^{rt}=r{e}^{rt}$, $\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{rt}=r^2{e}^{rt}$. 이것을 방정식에 대입하면 $(a{r}^2+br+c)e^{rt}=0$이 된다. $e^{rt}\ne 0$이므로:

$$a{r}^2+br+c=0$$

이것이 **특성방정식(characteristic equation)**이다. 2차방정식이므로 판별식 $\Delta =b^2-4ac$에 따라 세 가지 경우가 나타난다.

경우 1: 서로 다른 두 실수근 ($\Delta >0$). $r_1\ne r_2$이면 일반해는 $y=C_1{e}^{r_{1}t}+C_2{e}^{r_{2}t}$다. 두 독립 해의 선형결합이다.

경우 2: 중근 ($\Delta =0$). $r_1=r_2=r$이면 $e^{rt}$ 하나만으로는 두 번의 적분에서 생기는 두 자유도를 설명하지 못한다. 두 번째 독립 해로 $t{e}^{rt}$를 쓴다. 일반해: $y=(C_1+C_{2}t)e^{rt}$.

경우 3: 복소수근 ($\Delta <0$). $r=\alpha \pm \beta i$일 때, 오일러 공식(Euler's formula) $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$을 이용하면 복소 해를 실수 형태로 변환할 수 있다. 일반해:

$$y=e^{\alpha t}(C_1\cos \beta t+C_2\sin \beta t)$$

이 경우가 물리에서 가장 중요하다. $e^{\alpha t}$는 진동의 진폭이 시간에 따라 변하는 것, $\cos \beta t$와 $\sin \beta t$는 진동 자체를 나타낸다.

단순 조화 진동자: 자연의 기본 박자

용수철-질량 시스템의 운동방정식은 $m\ddot{x}+kx=0$, 즉 $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ (${\omega }_0=\sqrt{k/m}$)이다. 특성방정식은 $r^2+{\omega }_0^2=0$이고 근은 $r=\pm {\omega }_{0}i$—순허수다. 따라서 $\alpha =0$, $\beta ={\omega }_0$이고 해는 $x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$. 영원히 감쇠 없이 진동하는 이상적 시스템이다. 이제 댐핑 항 $-b\dot{x}$를 추가하면 $m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$이 된다. 판별식 $b^2-4mk$의 부호에 따라 과댐핑(overdamped), 임계댐핑(critically damped), 부족댐핑(underdamped) 세 거동이 나타난다. 자동차 서스펜션, 건물 내진 설계, RLC 전기 회로가 모두 이 방정식으로 기술된다.

비동차 방정식: 외부 힘이 가해질 때

$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=g(t)$에서 우변 $g(t)$는 외부 구동력이다. **중첩 원리(superposition principle)**에 의해 일반해는:

$$y=\underset{\text{동차해}}{\underbrace{y_h}}+\underset{\text{특수해}}{\underbrace{y_p}}$$

동차해 $y_h$는 앞서 배운 방법으로 구하고, 특수해 $y_p$는 $g(t)$의 형태에 따라 **미정계수법(method of undetermined coefficients)**으로 추측한다. $g(t)=e^{3t}$이면 $y_p=A{e}^{3t}$로 추측하고 대입하여 $A$를 구한다. $g(t)=\sin 2t$이면 $y_p=A\cos 2t+B\sin 2t$로 추측한다. 추측의 논리는 "미분 연산이 닫혀 있는 함수족(closed under differentiation)" 개념에서 나온다.

[노트 기록] 2계 동차 ODE 풀이 로드맵: 표준형 → 특성방정식 $a{r}^2+br+c=0$ → 판별식 $\Delta =b^2-4ac$ 확인 → $(\Delta >0)C_1{e}^{r_{1}t}+C_2{e}^{r_{2}t}$ / $(\Delta =0)(C_1+C_{2}t)e^{rt}$ / $(\Delta <0)e^{\alpha t}(C_1\cos \beta t+C_2\sin \beta t)$ → 초기조건으로 $C_1,C_2$ 결정

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IV. 라플라스 변환: 시간을 주파수로 번역하다

변환의 철학: 어려운 연산을 쉬운 연산으로

앞서 1계와 2계 ODE를 직접 적분으로 풀었다. 그런데 입력이 중간에 불연속적으로 바뀌거나, 고차 방정식이 되면 직접 풀기가 극히 어렵다. 여기서 라플라스 변환이 등장한다. 비유를 들어보자: 덧셈은 쉽고 곱셈은 어렵다. 하지만 로그를 쓰면 $\log (ab)=\log a+\log b$이므로 곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다. 라플라스 변환은 이것과 정확히 같은 논리로, 미분 연산을 $s$의 곱셈으로 바꾼다. 그 결과 미분방정식이 대수 방정식으로 변신한다.

정의: 적분으로 시간을 삼키다

$t\ge 0$에서 정의된 함수 $f(t)$에 대해 라플라스 변환은:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

$s$는 복소수 변수지만 지금 단계에서는 충분히 큰 실수로 생각해도 된다. $e^{-st}$는 $t\to \infty$에서 $f(t)$가 빠르게 증가해도 적분이 수렴하도록 "억누르는" 역할을 한다. 이 변환은 **시간 영역(time domain)**의 함수 $f(t)$를 **$s$-영역(frequency domain)**의 함수 $F(s)$로 바꾼다.

핵심 변환 공식: 암기가 아닌 유도로

몇 가지를 직접 유도해보자. $\mathcal{L}\{1\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt=\frac{1}{s}$ ($s>0$). $\mathcal{L}\{e^{at}\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-(s-a)t}dt=\frac{1}{s-a}$ ($s>a$). $\mathcal{L}\{\sin \omega t\}$는 오일러 공식 $\sin \omega t=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}$을 이용하거나 부분적분 두 번으로 직접 구해볼 것을 권한다.

[노트 기록] 핵심 라플라스 변환표:

$f(t)$	$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$
$1$	$\frac{1}{s}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\sin \omega t$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$
$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
$e^{at}\sin \omega t$	$\frac{\omega }{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$
$e^{at}\cos \omega t$	$\frac{s-a}{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$

핵심 성질: 미분의 변환 (이것이 전부다)

라플라스 변환의 진짜 힘은 다음 성질에서 나온다. $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y(s)$라 할 때:

$$\mathcal{L}\{y^{\prime }(t)\}=sY(s)-y(0)$$ $$\mathcal{L}\{y^{\prime \prime }(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)$$

미분이 $s$의 곱셈으로 바뀌고, 초기조건이 자동으로 포함된다. 첫 번째 공식은 부분적분으로 직접 유도된다: ${\int }_0^{\infty }{e}^{-st}{y}^{\prime }(t)dt=[e^{-st}y(t){]}_0^{\infty }+s{\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt=-y(0)+sY(s)$.

ODE 풀이 절차: 3단계 여행

라플라스를 이용한 IVP 풀이는 세 단계다. ① 변환: 양변에 $\mathcal{L}$을 취하면 대수 방정식이 된다. ② 대수 풀이: $Y(s)$에 대해 정리한다. ③ 역변환: $Y(s)$를 부분분수 분해하고 변환표를 역방향으로 읽어 $y(t)$를 복원한다. 예로 $y^{\prime \prime }+4y=0$, $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$을 풀어보자. 변환하면 $s^{2}Y-s+4Y=0$ → $(s^2+4)Y=s$ → $Y(s)=\frac{s}{s^2+4}$. 변환표에서 $\frac{s}{s^2+{\omega }^2}=\mathcal{L}\{\cos \omega t\}$이므로 $y(t)=\cos 2t$. 이것이 특성방정식으로 구한 해 $C_1\cos 2t+C_2\sin 2t$에 초기조건을 넣은 것과 동일한지 직접 확인해보라.

전달함수와 시스템 이론의 첫걸음

제어공학에서는 ODE를 입력-출력 관계로 바라본다. 입력 $U(s)$와 출력 $Y(s)$ 사이에 $Y(s)=H(s)\cdot U(s)$가 성립할 때, **$H(s)=Y(s)/U(s)$를 전달함수(transfer function)**라 한다. 시스템의 "성격"이 $H(s)$ 하나로 완전히 기술되므로, 입력이 무엇이든 출력을 바로 계산할 수 있다. 항공기 자동조종장치, 로켓 자세 제어, PID 컨트롤러가 모두 이 개념 위에서 설계된다.

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V. Frobenius 급수 해법 입문

특이점: 방정식이 "이상해지는" 곳

앞서 다룬 방법들은 계수가 상수이거나 잘 행동하는(well-behaved) 경우에 작동한다. 그런데 자연의 많은 중요한 방정식—베셀 방정식(원통형 진동), 르장드르 방정식(구면 조화함수), 에어리 방정식(빛의 회절)—은 특정 점에서 계수가 0이 되거나 발산하는 **특이점(singular point)**을 갖는다. 대표적인 예가 **오일러 방정식(Euler equation)**이다:

$$x^2{y}^{\prime \prime }+\alpha x{y}^{\prime }+\beta y=0$$

$x=0$에서 최고차 계수 $x^2$이 0이 된다. 이 점이 특이점이다. 지금까지의 $e^{rt}$ 접근은 여기서 작동하지 않는다.

Frobenius의 아이디어: 멱급수에 날개를 달다

게오르크 프로베니우스(Georg Frobenius)의 핵심 아이디어는 단순하다: 해를 $x^r$ 인자를 포함한 멱급수로 가정하자.

$$y=x^r\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{n+r}$$

$r$은 정수가 아닐 수도 있다. 이것을 ODE에 대입하고 $x$의 각 거듭제곱에 대한 계수를 0으로 놓으면, 가장 낮은 차수 항에서 $r$에 대한 방정식이 나온다—이를 **지표방정식(indicial equation)**이라 한다. 오일러 방정식의 경우 $y=x^r$을 대입하면($a_0\ne 0$) $r(r-1)+\alpha r+\beta =0$이 지표방정식이다. 두 근 $r_1,r_2$의 차 $r_1-r_2$가 정수인지 여부에 따라 해의 구조가 달라진다(Boyce & DiPrima, Elementary Differential Equations, 11th ed.). 이번 단계에서는 멱급수 가정과 지표방정식 유도라는 핵심 아이디어만 이해하면 충분하다.

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VI. 종합 — 1단계의 지형도

[노트 기록] 개념 연결 지도:

물리 현상 (F = ma, 붕괴, 열전달)
        ↓ (모델링)
   미분방정식 ODE
        ↓ (분류)
1계 ODE ──→ 변수 분리법 / 적분인자법
2계 ODE ──→ 특성방정식 (3가지 경우) → y_h + y_p
특이점 ODE → Frobenius 급수 해법 (지표방정식)
        ↓ (변환 도구)
라플라스 변환 → s-영역 대수방정식 → 역변환
        ↓ (시스템 시각)
   전달함수 H(s) = Y(s)/U(s)

각 방법은 독립적인 것이 아니라 같은 ODE를 다른 각도에서 바라보는 도구다. 라플라스로 푼 해와 특성방정식으로 푼 해는 반드시 동일한 함수여야 한다. 이것을 프로젝트에서 직접 확인하게 된다.

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VII. 프로젝트: 탄동 로켓 궤적 추적기

배운 모든 도구를 통합할 차례다. 아래 문제들은 서로 연결되어 있으므로 앞 문제의 결과를 다음 문제에서 사용한다. 정답은 제공하지 않는다. 막히는 곳에서 어떤 개념이 필요한지 역으로 생각해보는 것이 진짜 학습이다.

설정

지면에서 수직으로 발사되는 로켓을 생각하자. 질량 $m$ (연료 질량 무시, $m$ = 상수), 일정한 추력 $F$ (연소 구간 $0\le t\le T_b$), 중력가속도 $g$. 공기 저항은 속도에 선형 비례하는 $F_d=kv$ ($k>0$)로 모델링한다. **상승 방향을 양(+)**으로 정의한다.

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문제 1. 방정식의 설계 — 물리를 수식으로

(a) 연소 단계($0\le t\le T_b$)에서 로켓에 작용하는 모든 힘을 나열하고, 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 속도 $v(t)$에 대한 미분방정식을 작성하라.

(b) 이 방정식의 계수(order), 선형성, 동차성을 판별하고, 앞서 배운 분류 체계를 적용하여 어떤 해법이 적합한지 이유와 함께 서술하라.

(c) 이 방정식을 표준형 $\frac{dv}{dt}+P\cdot v=Q$로 정리하라. $P$와 $Q$를 $m,k,g,F$로 명시적으로 표현하라.

(d) 충분히 긴 연소 시간 후 속도가 일정해진다면—즉 $\frac{dv}{dt}=0$으로 놓으면—종단 속도 $v_{\text{terminal}}$를 $F,m,g,k$로 표현하라. 이것은 ODE를 풀기 전에 구할 수 있다. 물리적으로 어떤 조건($F$와 $mg$의 대소 관계)에서 로켓이 실제로 상승하는 종단 속도를 가지는지 논하라.

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문제 2. 연소 단계 풀기 — 적분인자법의 응용

(a) 문제 1(c)의 표준형에서 적분인자 $\mu (t)$를 구하라.

(b) 적분인자를 이용하여 $v(t)$의 일반해를 구하라. 중간 계산 과정을 생략하지 말 것.

(c) 초기조건 $v(0)=0$을 적용하여 특수해를 구하라. 답을 $F,m,g,k,t$로 표현하라.

(d) $t\to \infty$로 보냈을 때 이 해가 문제 1(d)의 종단 속도에 수렴하는지 확인하라. 수렴하지 않는다면 풀이를 재점검하라.

(e) $v(t)$를 $t$에 대해 적분하여 고도 $h(t)$를 구하라. 초기조건 $h(0)=0$. 중간에 나오는 지수함수의 적분을 정확히 처리할 것.

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문제 3. 관성(코스팅) 단계 — 연소 종료 후의 운동

연소 시간 $T_b$에서 추력이 사라진다. 이 순간 속도 $v_b\equiv v(T_b)$, 고도 $h_b\equiv h(T_b)$. 편의를 위해 $\tau =t-T_b$ (연소 종료 순간을 새 기원으로 삼음)로 시간을 재정의한다.

(a) $\tau \ge 0$ (추력 없음) 동안의 운동방정식을 $v(\tau )$에 대해 작성하라.

(b) 이 방정식을 표준형 선형 ODE로 정리하고 적분인자법으로 풀어라. 초기조건 $v(0)=v_b$.

(c) $v(\tau )=0$이 되는 시간 ${\tau }_{\text{max}}$를 자연로그를 포함한 표현으로 구하라. 이것이 최대 고도에 도달하는 순간이다.

(d) (생각 문제) $k=0$(공기 저항 없음)이라면 관성 단계 방정식은 어떤 형태가 되는가? 그리고 $v(\tau )$는 어떤 형태인가? 이것이 고등학교 물리에서 배운 등가속도 운동과 일치하는가? 일치한다면 왜 그런지, 일치하지 않는다면 어디서 차이가 나는지 논하라.

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문제 4. 라플라스로 검증하기 — 두 개의 망원경으로 같은 별을 보다

문제 3의 관성 단계 방정식을 이번에는 라플라스 변환으로 풀어라.

(a) 방정식의 양변에 $\mathcal{L}$을 취하고, 미분의 변환 성질 $\mathcal{L}\{v^{\prime }\}=sV(s)-v(0)=sV(s)-v_b$를 적용하여 $V(s)$에 대한 대수 방정식을 세워라.

(b) $V(s)$를 $s$의 유리함수로 정리하라. 분자와 분모를 명확히 쓸 것.

(c) 부분분수 분해(partial fraction decomposition)를 이용하여 $V(s)$를 단순한 항들의 합으로 분해하라. 힌트: $\frac{1}{s(s+k/m)}$ 형태의 분해가 포함된다.

(d) 역라플라스 변환을 취하여 $v(\tau )$를 구하라.

(e) 이 결과를 문제 3(b)에서 구한 해와 대조하라. 동일한가? 만약 다르다면 어느 단계에서 오류가 발생했는지 추적하라.

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자기 점검 기준: ODE 해법 도출 정확도 40점 / 연소-관성 두 단계 궤적 모델 완성도 40점 / 직접 풀이와 라플라스 결과 비교 분석 20점

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참고 문헌: Boyce & DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. / Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th ed. / Simmons, Differential Equations with Applications and Historical Notes, 3rd ed. / Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2nd ed.