3단계: 고체 밴드 이론, 나노 양자 크기 효과, 계산 화학(DFT)

1부 — 이론적 기초: 지금까지 배운 것을 꺼내라

1단계에서 너는 원자 오비탈이 단순히 전자가 "있을 법한 공간"이 아니라, **파동함수(wave function)**로 기술되는 확률 구름이라는 것을 배웠다. 파동함수 ψ를 제곱하면 전자를 특정 위치에서 발견할 확률 밀도가 된다는 것, 그리고 각 오비탈은 고유한 에너지 준위를 가진다는 것도 알고 있을 것이다. 또한 분자 궤도 이론(MO theory)을 통해, 두 원자가 결합할 때 두 원자 오비탈이 선형결합(LCAO)하여 결합성(bonding)과 반결합성(antibonding) 분자 오비탈을 만든다는 것도 배웠다. 1단계의 핵심 메시지는 단순했다: "원자 배치가 물질의 성질을 결정한다."

2단계에서는 반응 속도론과 분자 분광학을 다뤘다. 특히 UV-Vis 분광학에서, 분자가 특정 파장의 빛을 흡수할 때 전자가 낮은 에너지 상태(HOMO)에서 높은 에너지 상태(LUMO)로 전이한다는 것을 배웠다. 이 HOMO-LUMO 갭이라는 개념을 잘 기억해두어라. 오늘 배울 **밴드 갭(band gap)**은 사실 이것의 고체 버전이기 때문이다.

자, 이제 상상해보자. 수소 원자 하나는 에너지 준위가 명확하다: n=1, n=2, n=3... 이 선명한 선들. 그런데 수소 원자 두 개가 결합하면? MO 이론에서 배웠듯이 두 개의 준위가 약간 쪼개진다. 그럼 원자가 10개면? 100개면? 10²³개가 모여 결정(crystal)을 이룬다면 무슨 일이 벌어질까? 이 질문이 오늘 3단계의 출발점이다.

2부 — 본 내용

A. 고체 밴드 이론 (Solid State Band Theory)

7세 버전의 직관부터 시작하자. 원자 오비탈을 기타 현이라고 생각해봐. 기타 현 하나는 특정 음(진동수)만 낼 수 있어. 그런데 기타 현 수십억 개를 아주 촘촘하게 나란히 붙여놓으면? 각 현이 서로 영향을 주고받으면서 진동수가 약간씩 달라지고, 결국 셀 수 없이 많은 음이 연속적으로 촘촘하게 퍼지는 **"주파수 대역(band)"**이 형성된다. 고체에서의 에너지 밴드가 바로 이것이다.

이제 조금 더 엄밀하게 들어가보자. 고체 결정에서 원자들은 **주기적(periodic)**으로 배열된다. 실리콘(Si) 결정을 예로 들면, Si 원자들이 다이아몬드 구조로 규칙적으로 반복된다. 이 주기적 배열은 전자에게 주기적인 포텐셜(potential) 환경을 제공한다. 단독 원자에서 전자는 핵의 쿨롱 포텐셜 하나만 느끼지만, 결정 속 전자는 수십억 개 핵의 주기적 포텐셜을 동시에 느끼게 된다.

이 상황을 수학적으로 다루는 핵심 정리가 바로 **블로흐 정리(Bloch's theorem)**이다. 블로흐(Felix Bloch, 1928)는 주기적 포텐셜 안에서 운동하는 전자의 파동함수가 반드시 다음 형태를 가진다는 것을 증명했다:

ψₖ(r) = uₖ(r) · e^(ik·r)

여기서 e^(ik·r)는 자유 전자의 평면파(plane wave)이고, uₖ(r)는 격자의 주기성을 그대로 가지는 함수다. k는 **파수 벡터(wave vector)**로, 전자의 운동량과 비례한다. 이 k를 x축으로, 에너지 E를 y축으로 그린 그래프가 **밴드 구조(band structure)**다. 이 그래프를 보면 허용된 에너지 영역(band)과 금지된 에너지 영역(band gap)이 교대로 나타나는데, 이것이 고체 물리학의 핵심 풍경이다.

[노트 기록] 블로흐 정리 핵심: ψₖ(r) = uₖ(r)·e^(ik·r). 여기서 k는 파수 벡터, uₖ(r)은 격자 주기성을 가진 함수. 허용 에너지 영역 = 밴드(band), 금지 에너지 영역 = 밴드 갭(band gap).

밴드가 형성되는 물리적 직관을 좀 더 깊이 이해하려면 **꽉묶음 근사(tight-binding model)**를 생각해보면 된다. N개의 동일한 원자가 모인다고 하자. 처음에 원자들이 무한히 멀리 떨어져 있으면 각 원자의 에너지 준위는 동일하다. 이제 원자들을 조금씩 가까이 당기면 인접 원자의 파동함수가 겹치기(overlap) 시작한다. MO 이론에서 두 원자 오비탈이 겹치면 두 준위로 쪼개지듯이, N개의 오비탈이 겹치면 N개의 준위로 쪼개진다. N이 10²³ 수준이면 이 N개의 준위는 사실상 연속적인 에너지 대역, 즉 밴드처럼 보이게 된다. 1s 오비탈에서 하나의 밴드가, 2p 오비탈에서 또 다른 밴드가 생긴다.

B. 도체, 반도체, 부도체 — 밴드 갭의 마법

자, 이제 1단계에서 배운 파울리 배타 원리(Pauli exclusion principle)를 다시 꺼내야 한다. 전자들은 에너지가 낮은 상태부터 차곡차곡 채워진다(쌓음 원리, Aufbau principle). 고체에서도 마찬가지다. 전자들은 밴드의 낮은 에너지 상태부터 채워진다. 전자가 가득 찬 밴드를 원자가 밴드(valence band), 비어있거나 일부만 채워진 가장 가까운 위쪽 밴드를 **전도 밴드(conduction band)**라고 한다. 전기 전도는 전자가 전기장에 의해 가속될 때, 즉 에너지를 받아 더 높은 상태로 이동할 수 있을 때 일어난다.

여기서 핵심 질문이 나온다: 전자가 원자가 밴드에서 전도 밴드로 이동하는 데 얼마나 큰 에너지가 필요한가? 이 에너지 장벽이 바로 **밴드 갭(band gap, Eg)**이다.

**도체(Conductor)**는 두 가지 경우다. 첫 번째는 밴드가 반만 채워진 경우(예: 금속 Na의 3s 밴드는 전자 하나뿐이라 반쯤 비어있다). 이 경우 밴드 갭이 아예 없고, 전자는 조금만 에너지를 받아도 자유롭게 이동할 수 있다. 두 번째는 원자가 밴드와 전도 밴드가 겹쳐(overlap) 있는 경우(예: Mg)다. 어느 쪽이든 Eg ≈ 0 eV이므로 상온에서도 전자가 자유롭게 움직인다.

**부도체(Insulator)**는 원자가 밴드가 완전히 꽉 차 있고 전도 밴드는 완전히 비어있으며, 그 사이 밴드 갭이 아주 큰 경우다. 다이아몬드(C)의 밴드 갭은 무려 5.5 eV다. 가시광선 광자(photon) 하나의 에너지가 약 1.8~3.1 eV 수준이니, 일상적인 빛이나 열에너지로는 전자를 전도 밴드로 올릴 수 없다. 그래서 전기가 통하지 않는다.

**반도체(Semiconductor)**는 그 중간이다. 실리콘(Si)의 밴드 갭은 1.1 eV, 갈륨 비소(GaAs)는 1.4 eV다. 이 정도면 상온 열에너지(kT ≈ 0.026 eV at 300K)로는 전자를 올리기 어렵지만, 빛이나 전기 에너지를 주면 일부 전자가 전도 밴드로 넘어갈 수 있다. 전도 밴드로 올라간 전자는 전류를 나르고, 전자가 빠져나간 원자가 밴드의 빈 자리는 **정공(hole)**이라고 부른다. 정공은 양전하를 가진 것처럼 행동하며, 이것도 전류를 나른다.

[노트 기록] 분류 기준 요약: 도체(Eg ≈ 0 eV), 반도체(Eg ≈ 0.1~3 eV), 부도체(Eg > 3 eV 이상). 반도체의 특징: 전자(음전하) + 정공(hole, 양전하 유사)이 전류 담당.

2단계에서 UV-Vis 분광학을 배울 때 HOMO-LUMO 갭을 넘어가는 빛이 흡수된다고 했다. 반도체에서도 똑같다. 빛의 에너지(E = hν = hc/λ)가 밴드 갭 이상이면 흡수되고, 그 이하면 투과된다. 다이아몬드가 투명한 이유가 바로 이것이다: 가시광선 에너지(~2 eV)가 밴드 갭(5.5 eV)보다 훨씬 작아서 그냥 통과해버리는 것이다. 스스로 한 번 생각해봐라 — 실리콘(Eg = 1.1 eV)은 왜 불투명하고, 왜 검은색으로 보일까?

밴드 갭에는 한 가지 더 중요한 구분이 있다. **직접 밴드 갭(direct band gap)**과 **간접 밴드 갭(indirect band gap)**이다. 밴드 구조 그래프에서 원자가 밴드의 최댓값(VBM)과 전도 밴드의 최솟값(CBM)이 같은 k값에 위치하면 직접 밴드 갭이다(예: GaAs, 1.4 eV). 다른 k값에 위치하면 간접 밴드 갭이다(예: Si, 1.1 eV). 이 차이가 왜 중요하냐? 전자가 광자를 흡수하거나 방출할 때 운동량이 보존되어야 한다. 광자는 에너지는 크지만 운동량이 매우 작다. 직접 밴드 갭 반도체에서는 전자가 k값을 바꾸지 않고 전이하므로 광자 하나로 충분하다 → LED, 레이저 다이오드로 탁월하다. 간접 밴드 갭(Si)에서는 운동량 차이를 메우기 위해 격자 진동(포논, phonon)이 개입해야 해서 발광 효율이 매우 낮다. 이것이 LED 소자에 Si가 아니라 GaAs 계열을 쓰는 이유다.

도핑(Doping) — 반도체를 의도적으로 불순물로 오염시키는 마법. 순수한 Si는 최외각에 전자 4개를 가진다. 여기에 전자 5개를 가진 인(P)을 조금 넣으면? P는 Si의 자리를 차지하면서 결합에 쓰고 남는 전자 1개가 전도 밴드 바로 아래에 위치한 에너지 준위에 느슨하게 붙어있는다. 조금만 에너지를 줘도 이 여분 전자가 전도 밴드로 올라간다. 이것이 **n형 반도체(n-type)**다. n은 negative, 즉 전자가 다수 캐리어다. 반대로 전자 3개인 붕소(B)를 넣으면? B는 결합에 전자가 하나 모자라서 원자가 밴드 바로 위에 빈 에너지 준위(정공 상태)를 만든다. 이것이 **p형 반도체(p-type)**다. p는 positive, 정공이 다수 캐리어다. p-n 접합(junction)을 만들면 트랜지스터, 태양전지, LED 등 현대 전자 소자의 기초가 된다.

C. 나노 물질의 양자 크기 효과 (Quantum Size Effect)

자, 이제 완전히 새로운 차원으로 넘어간다. 1단계에서 배운 '입자 속 파동(particle in a box)'을 기억하는가? 폭 L인 1차원 우물에 갇힌 전자의 에너지는 다음과 같다:

Eₙ = n²h²/(8mL²)

여기서 n은 양자수(1,2,3...), h는 플랑크 상수, m은 전자 질량, L은 우물의 폭이다. 이 식에서 가장 중요한 것은 L에 반비례한다는 사실이다. 상자가 작아질수록 에너지가 높아진다.

벌크(bulk) 고체에서 L은 수 밀리미터 이상이므로 에너지 준위 간격이 극도로 작아져 사실상 연속적인 밴드가 된다(앞서 배운 것). 그런데 L을 나노미터(nm) 수준으로 줄이면? 식에서 L²이 분모에 있으니 에너지 준위 간격이 엄청나게 벌어진다. 연속적인 밴드였던 것이 다시 이산적(discrete)인 에너지 준위로 되돌아간다. 이것이 **양자 크기 효과(quantum size effect)**의 핵심이다.

현실적으로 이 효과가 나타나는 크기 기준이 있다. 반도체에서 전자와 정공은 쿨롱 인력으로 서로 느슨하게 결합하여 **엑시톤(exciton)**이라는 준입자를 형성한다. 이 엑시톤의 특성 크기인 **보어 엑시톤 반경(Bohr exciton radius, aB)**보다 나노 입자의 크기가 작아지면 양자 구속(quantum confinement)이 일어난다. CdSe의 aB는 약 5.6 nm, Si는 약 4.9 nm다. 즉, 이 값보다 작은 CdSe 나노입자를 만들면 양자 크기 효과가 뚜렷하게 나타난다.

이것이 실제로 어떤 현상을 만들어내는지를 이해하기 위해 2단계에서 배운 UV-Vis 분광학을 다시 꺼내야 한다. 빛의 흡수는 전자가 에너지 준위 간 전이를 할 때 일어나며, 흡수 파장은 에너지 간격에 반비례한다(E = hc/λ). 나노 입자가 작아질수록 에너지 준위 간격이 커지므로, 흡수 및 발광 파장이 짧은 쪽(파란색 방향)으로 이동한다. 이를 **청색 편이(blue shift)**라고 한다. 반대로 크기가 커지면 밴드 갭이 좁아지며 **적색 편이(red shift)**가 일어난다.

이것의 가장 극적인 응용이 **양자점(Quantum Dot, QD)**이다. CdSe 양자점은 크기만 조절하면(대략 2~10 nm 범위) 자외선부터 적외선까지 발광 색상을 마음대로 바꿀 수 있다. 지름 2 nm짜리 CdSe 양자점은 파란빛을 내고, 5 nm짜리는 초록빛을, 8 nm짜리는 빨간빛을 낸다. 같은 물질인데 크기만 달라져도 색이 달라진다. 이건 2단계에서 배운 "분자 구조가 흡수 파장을 결정한다"는 원리가 나노 스케일에서 훨씬 극적으로 작동하는 것이다.

[노트 기록] 양자 구속 조건: 입자 크기 < 보어 엑시톤 반경(aB). 크기 ↓ → 에너지 간격 ↑ → 밴드 갭 증가 → 청색 편이. Eₙ = n²h²/(8mL²). 양자점: 크기 조절로 발광 색상 제어.

양자 크기 효과는 광학적 성질만 바꾸는 게 아니다. **녹는점(melting point)**도 드라마틱하게 달라진다. 벌크 금(Au)의 녹는점은 1064°C지만, 지름 2 nm 금 나노입자의 녹는점은 약 300°C대로 뚝 떨어진다. 이유는 표면-부피 비율(surface-to-volume ratio)에 있다. 나노 입자에서는 전체 원자 중 표면에 있는 원자의 비율이 엄청나게 높다. 표면 원자들은 이웃 원자 수가 적어 결합이 불완전하므로 에너지적으로 불안정하고, 따라서 쉽게 떨어져 나간다. 즉 녹는점이 낮아진다. 이건 1단계에서 배운 결합 에너지 개념이 나노 스케일에서 표면 효과로 발현되는 것이다. 이러한 성질은 나노 촉매(2단계에서 배운 촉매 설계와 직결된다!), 나노 의학, 잉크젯 나노 인쇄 등에 활발히 응용된다.

D. 계산 화학 (DFT) 입문: 컴퓨터로 물질을 예측한다

자, 이제 가장 강력하고 흥미로운 영역으로 왔다. 지금까지 배운 것들, 파동함수, 오비탈, 밴드 구조, 에너지 준위 — 이 모든 것을 컴퓨터로 계산하는 방법이 있다. 이것이 **계산 화학(computational chemistry)**이고, 그 중심에 **밀도 범함수 이론(Density Functional Theory, DFT)**이 있다.

시작하기 위해 근본적인 문제를 직면해야 한다. 모든 것의 시작은 **슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)**이다: Ĥψ = Eψ. 이것이 원리적으로는 모든 물질의 모든 성질을 기술할 수 있다. 문제는 계산이 불가능할 정도로 복잡하다는 것이다. Si 결정 하나의 단위 격자에도 수십 개의 원자가 있고, 각 원자는 수십 개의 전자를 가진다. 전자 N개짜리 시스템의 파동함수는 3N차원 공간에서 정의된다. N=100이면 300차원 함수다. 이것을 직접 푸는 것은 우주가 끝날 때까지 슈퍼컴퓨터를 돌려도 불가능하다.

이 문제를 해결한 사람들이 1964~1965년에 등장했다. **Hohenberg, Kohn(1964)**은 놀라운 정리를 증명했다. 핵심을 가장 직관적으로 이야기하면 이렇다: 전자 밀도 ρ(r) — 즉 3차원 공간의 각 점에 전자가 얼마나 존재하는가 — 만 알면 시스템의 모든 물리적 성질을 원리적으로 결정할 수 있다. 3N차원의 복잡한 파동함수 대신 단순한 3차원 함수(전자 밀도)로 문제를 완전히 환원할 수 있다는 것이다. 이것이 제1 Hohenberg-Kohn 정리다. 제2 정리는 에너지 범함수 E[ρ]가 변분 원리(variational principle)를 만족한다는 것: 진짜 바닥 상태 전자 밀도 ρ₀가 에너지를 최소화한다.

[노트 기록] DFT 핵심 아이디어: 파동함수 ψ(3N차원) → 전자 밀도 ρ(r)(3차원)으로 문제 변환. 제1 HK 정리: ρ(r)이 모든 물리적 성질을 결정. 제2 HK 정리: E[ρ]는 변분 원리 만족 → E[ρ₀] = 최솟값 = 진짜 에너지.

그런데 E[ρ]를 정확히 어떻게 쓸 수 있을까? **Kohn과 Sham(1965)**은 실용적인 해법을 제시했다. 아이디어는 이렇다: 실제로 상호작용하는 N개 전자 시스템을 수학적으로 같은 밀도를 가지는 상호작용하지 않는(non-interacting) 가상 시스템으로 대체한다. 상호작용이 없으면 슈뢰딩거 방정식이 N개의 1전자 방정식으로 분리되어 계산이 가능해진다! 이것이 Kohn-Sham 방정식이다.

그러면 실제 상호작용의 효과는 어디로 갔냐고? **교환-상관 범함수(exchange-correlation functional, Exc[ρ])**라는 항에 전부 집어넣었다. 전자들 사이의 파울리 배타 원리에 의한 교환 효과(exchange), 그리고 전자들이 서로 피하려는 상관 효과(correlation) — 이 두 효과가 Exc 안에 담겨있다. 문제는 이 Exc의 정확한 형태를 아무도 모른다는 것이다. 이게 DFT의 유일한 약점이자 현재 연구의 핵심이다.

실제로는 Exc를 근사(approximation)해서 쓴다. 가장 간단한 것이 LDA(Local Density Approximation): 각 점의 전자 밀도가 균일한 전자 기체(homogeneous electron gas)와 같다고 가정한다. 더 정교한 것이 GGA(Generalized Gradient Approximation): 전자 밀도뿐 아니라 그 기울기(gradient)도 고려한다. PBE(Perdew-Burke-Ernzerhof) 범함수가 가장 널리 쓰이는 GGA 범함수다. 고체 연구에서 표준으로 쓰이며, 2020년대까지도 수만 편의 논문이 이것을 사용한다(Perdew et al., 1996, Phys. Rev. Lett. 77, 3865 — 피인용 횟수 약 40만 회, 역대 최다 피인용 물리학 논문 중 하나).

실제 DFT 계산은 자기 일관 장(Self-Consistent Field, SCF) 반복으로 진행된다. 초기 전자 밀도 ρ를 가정 → Kohn-Sham 방정식을 풀어 새 ρ를 구함 → 새 ρ로 다시 방정식을 풀고 → 이것을 입력과 출력이 일치할 때(수렴, convergence)까지 반복한다. 이 계산을 실제로 수행하는 소프트웨어로는 VASP(Vienna Ab initio Simulation Package), Quantum ESPRESSO, ABINIT 등이 있다. DFT로 계산할 수 있는 것은 분자/고체의 바닥 상태 에너지, 최적화된 구조(bond length, bond angle), 밴드 구조, 상태 밀도(DOS), 진동 주파수 등이다.

밴드 구조를 DFT로 계산하면 앞서 배운 실리콘의 간접 밴드 갭, GaAs의 직접 밴드 갭을 실제로 확인할 수 있다. 양자점 시스템의 경우 DFT로 크기에 따른 HOMO-LUMO 갭(양자점에서는 이것이 곧 밴드 갭이다)을 계산하여 발광 파장을 예측할 수 있다. 이것이 이번 단계 프로젝트 과제의 핵심이기도 하다.

한 가지 중요한 주의사항: 표준 DFT(LDA/GGA)는 밴드 갭을 항상 과소평가한다. Si의 실험 밴드 갭은 1.1 eV인데 GGA 계산 결과는 약 0.6 eV로 나온다. 이는 Exc 근사의 한계 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 HSE 하이브리드 범함수, GW 근사(Many-body perturbation theory) 등 더 정교한 방법들이 개발되었다. 현재도 정확한 밴드 갭 예측은 계산 물리·화학 분야의 주요 연구 과제 중 하나다.

[노트 기록] DFT 한계: 표준 LDA/GGA는 밴드 갭을 과소평가(~50%). 해결책: HSE 하이브리드 범함수, GW 방법. SCF 순환: 초기 ρ → K-S 방정식 → 새 ρ → 수렴까지 반복.

3부 — 프로젝트: 스스로 생각하고 계산하라

아래 세 프로젝트는 약 40분 분량이다. 계산기, 공책, 12부에서 배운 개념들을 모두 활용하라. 단, 정답은 없다 — 네가 어떤 방식으로 접근하고 어떤 논리로 답을 도출했는지가 평가의 핵심이다. 중간에 막히면 12부를 다시 읽어라.

[프로젝트 1] 밴드 이론과 물질 분류 — 데이터를 보고 판단하라 (약 15분)

아래 표는 여러 물질의 밴드 갭과 특성 데이터다.

물질	밴드 갭 (eV)	밴드 갭 유형	상온 전기전도도 (S/m)
다이아몬드 (C)	5.47	간접	~10⁻¹³
GaN	3.4	직접	~10⁻¹⁰ (순수)
Si	1.12	간접	~4.4×10⁻⁴
Ge	0.67	간접	~2.2
GaAs	1.42	직접	~10⁻⁸ (순수)
InAs	0.36	직접	~10³
Cu	0 (금속)	—	~6×10⁷
ZnO	3.37	직접	~10⁻² (나노선)

문제 1-1. 위 물질들을 도체/반도체/부도체로 분류하고, 분류 기준을 밴드 갭으로 정량적으로 설명하라. Cu가 도체인 이유를 밴드 구조 관점에서(단순히 "밴드 갭이 0이다"가 아니라 물리적으로) 설명하라.

문제 1-2. LED 소자를 만들려고 한다. 위 물질 중 가장 적합한 것과 가장 부적합한 것을 각각 하나씩 고르고, 이유를 (1) 밴드 갭의 크기 (2) 직접/간접 밴드 갭 두 가지 기준으로 설명하라. 또한 GaN을 이용한 LED는 어떤 색 빛을 낼 것인지 E = hc/λ를 이용해 파장을 계산하고 추정하라. (h = 6.626×10⁻³⁴ J·s, c = 3×10⁸ m/s, 1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J)

문제 1-3. Si에 인(P, 전자 5개)을 도핑했다. (a) n형 반도체가 되는 이유를 에너지 밴드 그림을 직접 그려서 설명하라(말로도 보충). (b) Si에 붕소(B, 전자 3개)를 함께 도핑하면 어떻게 될지 예측하라. (c) 반도체 소자 설계자가 동일한 Si 웨이퍼에 n형과 p형 영역을 나란히 만들면(p-n junction), 이 경계면에서 전자와 정공은 어떻게 행동할지 직관적으로 예측해보라.

문제 1-4. InAs의 밴드 갭(0.36 eV)은 Si(1.12 eV)보다 훨씬 작다. InAs 순수 단결정의 전기전도도가 Si보다 훨씬 높은(약 10³ S/m vs 4.4×10⁻⁴ S/m) 이유를 밴드 이론으로 설명하라. (힌트: 페르미-디랙 분포에서 온도 T에서 전도 밴드로 열여기되는 전자 수는 exp(-Eg/2kT)에 비례한다. 상온 kT = 0.026 eV.)

[프로젝트 2] 양자점의 크기-색상 관계를 예측하라 (약 15분)

CdSe 양자점은 크기에 따라 발광 파장이 달라진다. 간단한 3차원 입자 상자(particle in a 3D box, 구형 근사) 모델에서 바닥 상태 에너지 기여는 다음과 같이 근사할 수 있다:

E_gap(R) ≈ E_gap(bulk) + ℏ²π²/(2μR²) - 1.8e²/(4πε₀εᵣR)

여기서:

E_gap(bulk)(CdSe) = 1.74 eV (벌크 밴드 갭)
ℏ = 1.055×10⁻³⁴ J·s (환산 플랑크 상수)
μ = 환산 유효 질량. CdSe에서 μ ≈ 0.091 × mₑ (mₑ = 9.11×10⁻³¹ kg)
두 번째 항: 양자 구속 에너지 (크기가 작아질수록 증가)
세 번째 항: 전자-정공 쿨롱 인력에 의한 에너지 감소 (쿨롱 항)
e = 1.6×10⁻¹⁹ C, ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m, εᵣ(CdSe) ≈ 10.6
R: 양자점 반지름

문제 2-1. 위 식에서 두 번째 항과 세 번째 항의 물리적 의미를 설명하라. 크기 R이 줄어들수록 E_gap이 어떻게 변하는지, 그리고 어느 항이 지배적인지 정성적으로 논하라.

문제 2-2. R = 1.5 nm, 2.5 nm, 4.0 nm인 CdSe 양자점 세 가지에 대해 각각 E_gap(R)을 계산하라. (계산 과정을 단계별로 명시. 에너지 단위를 eV로 통일할 것.)

문제 2-3. 각 경우에 발광 파장 λ를 계산하고(E = hc/λ), 어떤 색의 빛을 낼지 예측하라. (가시광선: 보라 380~~420 nm, 파랑 420~~480 nm, 초록 520~~560 nm, 노랑 560~~590 nm, 빨강 620~750 nm)

문제 2-4. 이 계산 결과를 바탕으로, 실제 실험실에서 "원하는 색상의 LED를 만들고 싶다"면 어떤 전략을 취할 수 있는지 서술하라. 또한 이 모델의 한계점(어떤 물리적 효과가 무시되었는가?)을 두 가지 이상 지적하라.

문제 2-5 (심화). 양자점이 아닌 **양자 선(quantum wire, 1차원 구속)**과 **양자 우물(quantum well, 2차원 구속)**의 에너지 구속 효과는 양자점(3차원 구속)과 어떻게 다를지 정성적으로 논하라. 구속 차원이 많을수록 효과가 더 강한지 약한지, 그 이유는 무엇인지 포함해서.

[프로젝트 3] DFT 개념 설계 프로젝트 — "만약 내가 계산한다면" (약 10분)

이 프로젝트는 실제 DFT 소프트웨어를 쓰지 않고, DFT의 논리와 개념을 이해했는지를 평가한다.

문제 3-1. DFT 계산에서 SCF 반복이 왜 필요한지 설명하라. 만약 SCF를 딱 1번만 하고 멈춘다면 무엇이 문제인가?

문제 3-2. 연구자 A가 Si의 밴드 갭을 GGA(PBE) 범함수로 계산했더니 0.60 eV가 나왔다. 실험값은 1.12 eV다. 연구자 B는 "이 결과가 틀렸다"고 주장하고, 연구자 C는 "이 결과가 맞다"고 주장한다. 두 연구자 모두 타당한 근거를 가질 수 있다. 각각의 입장을 DFT의 원리와 한계에 근거하여 설명하라.

문제 3-3. 두 물질 X와 Y가 있다. X는 모든 원자간 결합 길이가 실험값과 0.5% 이내로 일치하는 DFT 계산 결과를 가진다. Y는 결합 길이 오차가 3%지만 밴드 갭이 실험값과 거의 정확히 일치한다. 어떤 범함수 선택이 이런 결과를 만들어낼 수 있는지, 그리고 태양전지 소재 연구에는 X와 Y 중 어느 결과가 더 유용할지 논하라.

문제 3-4. 너는 새로운 2차원 반도체 소재(MX₂ 형태, M은 전이금속, X는 칼코겐 원소)를 발견했다고 가정하자. 이 물질이 LED 소자에 적합한지 평가하기 위해 DFT 계산으로 무엇을 계산해야 하는지 순서대로 설명하라. 어떤 물리량을 봐야 하며, 각 물리량이 무엇을 의미하는지 포함할 것. (힌트: 앞서 배운 직접/간접 밴드 갭, 밴드 갭 크기, 상태 밀도 개념을 활용하라.)

이 세 프로젝트를 마치면, 너는 고체 밴드 이론으로 물질을 분류하고 LED 소재를 선택하는 능력, 양자 구속 방정식을 실제 계산에 적용하는 능력, 그리고 DFT의 원리와 한계를 비판적으로 이해하는 능력을 갖추게 된다. 이 세 가지가 바로 오늘의 학습 목표 ①②③이다. 막히는 부분이 있을 때마다 2부로 돌아가라 — 모든 답의 씨앗이 거기 있다.

물리화학 및 나노 소재학